第八节 极限存在准则 两个重要极限
分布图示
★ 夹逼准则
★ 例1 ★ 例4 ★ 例7 ★ 例10 ★ 例12 ★ 例15 ★ 例18
?1?★ lim?1???e
x???n?x★ 单调有界准则
sinx★ lim?1
x?0x
★ 例2 ★ 例5 ★ 例8 ★ 例11 ★ 例13 ★ 例16
★ 例3 ★ 例6 ★ 例9 ★ 例14 ★ 例17
★ 例19 ★ 例20
★ 例21 ★ 例24
★ 例22 ★ 例23 ★ 例25
★ 柯西极限存在准则 ★ 连续复利（例26） ★ 内容小结 ★ 课堂练习 ★ 习题 1- 8
内容要点
一、准则I（夹逼准则）：如果数列xn,yn及zn满足下列条件:
（1）yn?xn?zn(n?1,2,3,?); （2）limyn?a,limzn?a,
n??n??那末数列xn的极限存在, 且limxn?a.
n??注：利用夹逼准则求极限，关键是构造出yn与zn, 并且yn与zn的极限相同且容易求. 二、 准则II（单调有界准则）：单调有界数列必有极限.
三、两个重要极限：
sinx?1?1. lim?1； 2．lim?1???e.
x???x?0xx? 四、连续复利
设初始本金为p (元), 年利率为r, 按复利付息, 若一年分m次付息, 则第n年末的本利和为
r??sn?p?1???m?mnx
如果利息按连续复利计算, 即计算复利的次数m趋于无穷大时, t年末的本利和可按如下公式计算
r??s?plim?1??m???m?mt?pert
若要t年末的本利和为s, 则初始本金p?se?rt.
例题选讲
夹逼准则的应用
?111??. 例1 (E01) 求 lim??????222n???n?2n?n??n?1解 ?nn?n2?1n?12???1n?n2?nn?12
又limn??nn?n2?limn??111?n?1,limn??nn?12?limn??111?2n?1,
由夹逼定理得
?1?11??1. lim??????2n???n2?2n2?n??n?1
nn1/n例2 求 lim(1?2?3).
n??解
1nnn由(1?2?3)??2??1??3?1???????,易见对任意自然数n,有 ???3??3????2??1?1?1???????3,
?3??3?nnn1n?n1故3?1n1??2??1??3?1????????3?3n. ???3??3???n1n?n1而lim3?1nn???3,1lim3?3nn???3,所以
1nnn2?3)n??lim(1???2??1??lim3?1????????3. n?????3??3???n1n?n
例3 求 lim??解 设xn??111??. ????22?n??n2(n?1)(n?n)??111????. 显然， n2(n?1)2(n?n)2n?1111111n?1??????x??????2 n22222224n(2n)(2n)(2n)nnnn又limn?1n?1?0,lim?0,由夹逼准则知limxn?0,
n??4n2n??n2n???111???0. 即lim?????22?n???n2(n?1)(n?n)??
an(a?0). 例4 求 limn??n!a?a?a?aana?a?a?ac?a?c??解 ?,
([a]?2)([a]?3)?nn!1?2?3?([a]?1)([a]?2)?nna?a?aanc?aanc?a,因此0??,而lim?0. 其中c??0,所以limn??n!n??n1?2?3?([a]?1)n!n
n!. n??nnn!1?2?3?n1?2?n?n?nn!222解 由n???2,易见0?n?2.又lim2?0.
n??nn?n?n?nn?n?n?nnnnnn!所以 lim2?0.
n??n
例5 (E02) 求 lim例6 (E03) 求极限limcosx.
x?0xx2?x??2????解 因为0?1?cosx?2sin,故由准则I?,得 22?2?22lim(1?cosx)?0, 即 limcosx?1
x?0x?0
例7 求 limnn.
n??解 令nn?1?rn(rn?0),则
n?(1?rn)n?1?nrn?2n(n?1)2n(n?1)2. rn???rnn?rn(n?1),因此 , 0?rn?n?12!2!由于limn??2?0,所以limrn?0.故limnn?lim(1?rn)?1?limrn?1.
n??n??n??n??n?1
例8 求证limna?1(a?0). 解 (1)
n??当a?1时, n1?1,故limna?lim1?1.
n??n??(2) 当a?1时,设xn?na,显然xn?1.当n?a时,xn?na?nn.由例3知limnn?1,所以
n??n??limna?1(a?1).
(3)
当0?a?1时，总存在一个正数b(b?1),使得a?1/b,由(2)知limnb?1,所以
n??n??limna?limnn??111???1, blimnb1n??综合上述证明可知 limna?1(a?0).
n??
例9 求极限 limx??.
x?0?x?1?1?1?1?解 当x?0时, ?1????，因此，当x?0时, 1?x?x???1
x?x?x?x??1??1?x?0x?1,1?x?x由夹逼定理可得lim当时，有???x??1 x?0??x????1??1?x?1,limx由夹逼定理可得lim从而????1. x?0?x?0??x??x?
例10 (E04) 设有数列x1?1??3,x2?3?x1,?,xn?3?xn?1,?,求
limx. n??n证 显然xn?1?xn,?{xn}是单调递增的.下面利用数学归纳法证明{xn}有界. 因为x1?3?3,假定xk?3,则xk?1?3?xk?3?3?3. 所以{xn}是有界的.从而limxn?A存在.
n??222由递推关系xn?1?3?xn,得xn?1?3?xn,故limxn?1?lim(3?xn),即A?3?A,
n??n??解得A?1?131?131?13,A?. (舍去). 所以limxn?n??222
例11 设 a?0为常数, 数列xn由下列定义: xn?1?a???x?(n?1,2,??) n?1??2?xn?1?其中x0为大于零的常数, 求limxn.
n??解 先证明数列xn的极限的存在性.
1?a?2222??2xnxn?1?xn由xn??即x?(x?x)?x?ax?a. ?a,?n?1nn?1nn?1?2?xn?1??由a?0,x0?0,知xn?0,因此xn?a,即xn有下界.
又
xn?11?a???1?1a?1,故数列xn单调递减，由极限存在准则知limxn存在.??1?2?2n??xn2??xn?22xn
1?a?1?a??A?A?不妨设limxn?A,对式子xn??两边取极限得:x???. n?1?n??2A2?x??n?1??解之得A?a,即limxn?a.
n??
tanx.
x?0xtanxsinx1sinx1?1. 解 lim?lim??lim?limx?0xx?0xx?0x?0cosxxcosx
例12 (E05) 求 lim例13 求 limtan3x.
x?0sin5xsin3x31tan3xsin3x1133解 lim?lim3x??lim????1?.
5x5co3x?0sin5xx?0sinsx155xco3sxx?0sin55x
例14 (E06) 求 lim1?cosx. 2x?0x2xx?x?sin?2sinsin2?2??1?12?1. 2?1lim2?1lim?解 原式?limx?02x?0?x?2x?0?x?222x2?????2??2?2
例15 下列运算过程是否正确： limtanxtanxxtanxx?lim.?limlim?1.
x?xsinxx?xxsinxx?xxx?xsinxtanxx?1,?1,本题x??,所以不能应用上述xsinx解 这种运算是错误的.当x?0时,
方法进行计算.正确的作法如下：
令x???t,则x???t;当x??时, t?0,于是
tanxtan(??t)tanttanttlim?lim?lim?lim???1. x??sinxt?0sin(??t)t?0?sintt?0t?sint
例16 计算 lim解 lim
cosx?cos3x. 2x?0xcosx?cos3x2sin2xsinx4sin2xsinx?4. ?lim??lim22x?0x?0x?02xxxxx2例17 计算 lim.
x?01?xsinx?cosx