2007年浙江省普通高校“2+2”联考《高等数学A》参考答案
一、填空题(每小题4分,共24分) 1. 3;
2. 3x?y?6?0;
1y4. [2,4)； 5.;
21E?A2 33
xxlnxyf?xlnxf?f3; 2212yy196. .
563. ?二、单项选择题每小题4分,共24分)
1. D; 2. C; 3. B; 4. B; 5. C 6. B. 三、计算题(每小题8分,共64分)
1. 解 由lim(Ax?Bx?C?lnx)?0 得 A?B?C?0, (1) ……… 2分
x?122又
Ax?Bx?C?lnx?limx?1x?12(x?1)(x?1)21?? ?lim?2Ax?B?2lnx???2A?B?0, (2) ……… 5分
x?1?x? 0?lim又
222Ax?B?2lnx?1x
Ax?Bx?C?lnx?lim2x?1x?12(x?1)(x?1)1?lnxA?2x=lim?A?1, (3) ……… 7分
x?11 由(1)、(2)、(3)解得：A?1，B??2，C?1．………………………………… 8分
0=lim12222Ax?B?2lnx?1x
２. 解 原式=
?xln?121?xdx+1?x122?sinxln?121?xdx 1?x12=2xln0?1?x1?xd(x2) ………………… 4分 dx?0=?ln1?x1?x012012=xln21?x1?x12??x2?0121?x(1?x)?(1?x)?dx 1?x(1?x)2121x211=ln3?2?=dxln3?2(1?)dx ………… 6分 22?441?x1?x0011?x?1=ln3?2??ln41?x?2223. 解 曲面z?x?y和z?2?1203?? =1?ln3.…………………… 8分
4?x2?y2所围几何体在xOy平面上的投影区域为D：
x2?y2?1． ………………………………………………………… 2分
记几何体在z?x?y上的表面积为S1，则
1
22 S1＝
??D1?(2x)2?(2y)2dxdy＝??1?4(x2?y2)dxdy ………4分
D极坐标?2?0d??01?4r2rdr
＝2??11221?4rd(1?4r) 8?031?2221＝?(1?4r)0＝(55?1)?． ……………………………6分 436x2?y2上的表面积为S2，则
22记几何体在z?2? S1＝
＝
??D??x1???x2?y2????y?????x2?y2????dxdy ????D2dxdy＝2?． …………………………………………7分
?1(55?1)?2??． ………………………………8分 ???6?x ?S?S1?S2?4. 解 方程两边对x求导，得
y??ex?ex?y2dx?exy2 ………………………2分
0整理得 y??y?ey. ………………………………………………3分
x21，则上式化为 yx z??z??e． ……………………………………………4分
令z??dx所以 z=e?(?ex)dx?C=e?x?e2xdx?C
??????1?12x?e?C?=Ce?x?ex. ……………………………6分
2?2?12ex ?y?f(x)?. ?2x1Ce?x?ex2C?e23 由题知f(0)?1,由此得C?.故
22ex f(x)?. ……………………………………… 8分
3?e2x111111?x115. 解 D4=(4?x) …………………………… 5分
111?x11111?x=e???x=(4?x)x ………………………………………………… 8分
36. 解: ?A??1?A???A?1 ……………………………………………… 2分
? (2A?E)X?E ………………………………………… 4分
2
?110????1 ?X?(2A?E)??010??00?3?????33?1??0?33??00??1 ……………………… 6分
0??0? …………………… 8分 1??7. 解: ? 事件P({????1}?{??1})?P{????1}?P{??1}
?b?(a?b)(0.4?b) ………………………………………………3分
又由 a?b?0.5?1?a?0.1,b?0.4 …………………………………5分 ?0
?E(?)?0.5 ……………………………………………………………… 8分
?1?1, x?(0,1)?, y?(0,x) , 8. 解: f?(x)??f?|?(y|x)??x …… 2分
?0, 其它??0, 其它 ?1?, 0?y?x?1 ?f(?,?)(x,y)?f?(x)f?|?(y|x)??x …………5分
?? 0, 其它????lny, 0?y?1 ?f?(y)??f(x,y)dx?? …………………………8分
?0, 其它??四、应用题(每小题9分,共27分)
1. 解 设从P向边a,b,c所作的垂线长分别为x,y,z,则令
f(x,y,z)?xyz. ……………………………………………… 2分 由题设知ax?by?cz?2S,故令
L(x,y,z,?)?xyz??(ax?by?cz?2S). ……………………4分
?Lx?yz??a?0?L?xz??b?0?y由 ? ……………………………………………7分
?Lz?xy??c?0?L?ax?by?cz?2S?0??2S2S2S解得惟一驻点x?,y?,z?. …………………………………8分
3a3b3c由问题的实际意义知f有最大值,故当P到长为a,b,c的边的距离分别为x?2S, 3a2S2S8S3,z?时,三垂线长的乘积最大,最大值为. ………………9分 y?27abc3b3cT2. 解: 设???1对应的特征向量为:(x1,x2,x3),由实对称阵不同的特征值对应的特征向量正交?x1?0,x2?1,x3?0. ……………………………………………………3分 ?110??1?????4A=??001???2??1?10???1?????4?110????001??1?10????1 ………………………5分
3
1??10?2??110??1??2????11?16??0?? ………………………… 7分 =?001??22???1?10???1??010?????????170?15??1?20? …………………………………………………… 9分 =?02??15017???3. 解: ?服从参数为(4,p)的二项分布, …………………………………………3分
x1?10?1其中p?P{??10}??edx?1?e ………………………………………… 7分
10010k(1?e?1)ke?(4?k), k?0,1,2,3,4 ……9分 ??的分布律是: P{??k}?C4……………………… 8分
五、证明题(第一小题6分,第二小题5分)
1. 证 设F(x)?xf(x),则F(x)在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,且
F(1)?F(2)?0. ………………………………3分 对F(x)在[1,2]上应用罗尔定理得:???(1,2),使F?(?)?0,即
20081?1?20072007? ??f(?)??f(?)?0,
2007f(?)即 ?2007f?(?). ……………………………………………………6分
?2. 证: 设c1?1?c2?2???ck?1?k?1?ck?k?0,
?12007?c1(?1??k)?c2(?2??k)???ck?1(?k?1??k)?(ck?ck?1???c1)?k?0 ……4分
由?1??k,?2??k,?,?k?1??k,?k的线性无关性
?c1?c2???ck?0?结论成立. ……………………………………………… 5分
4