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全国2005年7月高等教育自学考试
高等数学（工本）试题
课程代码：00023
一、单项选择题（本大题共20小题，每小题2分，共40分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．不在－2的2邻区内的点是（ ） A．－3 B．－1
C．－
12
D．0
2．极限lim(x2?x?x2?1)?（ ）
x???A．0 B．1
C．
12 D．∞
3．已知当x→0时，ex－（ax2+bx+1）是比x2高阶的无穷小量，则常数a, b满足（ A．a=1, b=1 B．a=－1, b=－1 C．a?12,b?1
D．a??12,b??1
?x24．曲线y?1?e?x（ ）
1?e2A．没有渐近线 B．仅有水平渐近线
C．仅有垂直渐近线
D．既有水平渐近线又有垂直渐近线
5．设函数f(x)=|x|，则f′(0)（ ） A．等于0 B．等于1 C．等于－1
D．不存在
6．设函数y=y(x)是由方程xy2－y+1＝0所确定的，则dydxx?0＝（ ）
A．－1 B．0 C．1
D．2
7．已知函数f(x)在x0的某邻区内二阶可导，并且f′(x0)=0，f″(x0)<0，则（ ）A．（x0，f(x0)）是函数f(x)的极值点 B．（x0，f(x0)）是曲线y=f(x)的拐点 C．x0是函数f(x)的极小值点
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D．f(x0)是函数f(x)的极大值
8．设?f(x)dx?xex?C，则f(x)=（ ） A．(x+2)ex C．xe
x
x2B．(x-1)ex D．(x+1)e
0x
9．设函数F(x)=?te?tdt，则F′(x)=（ ） A．2x3e?x C．xe?x
10．下列广义积分中收敛的是（ ） A．?C．???2B．?xe?x D．?2x3e?x
2lnxxdx
dx
eB．???1xlnx1dx
dx?1e??1xlnx2eD．???3exlnx
11．设函数f(x)在区间［－3，－1］上连续且平均值为6，则?f(x)dx?（ ）
?3A．
12 B．2 D．18
C．12
432312．点（0，1，2）到平面x－2y+2z－6=0的距离为（ ） A．C．
x?2?7?y?2?z?18B．0 D．4
及平面P：2x－3y＋z－6=0，则直线L（ ）
B．与平面P垂直
13．设有直线L：A．在平面P内
C．与平面P平行，但不在平面P内 D．与平面P相交，但不垂直于平面P 14．若函数f(x,y)在(x0, y0)的某邻域内有定义，并且limf(x,y)存在，则f(x,y)在(x0，y0)处
x?x0y?y0（ ）
A．连续 C．可微
15．设函数u=xyz，则du|(1,1,1)＝（ ） A．dx C．－dx+dy+dz
-
B．不一定连续 D．间断
B．dx+dy+dz D．dy+dz
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16．已知区域G是由坐标面和平面x+2y+z=1所围成，则三重积分???xdv?（ ）
GA．?dx?dy?001100111?x?2y01xdz
B．?dx?01011?x2dy010?1?x?2yxdz0
C．?dx?2dy?xdz
0D．?dx?2dy?1?x?2yxdz0
17．在下列函数组中，线性无关的是（ ） A．x2,23x2
2
B．e,e
x
x－2x
C．1+cosx,cos2D．sin2x,sinxcosx
18．微分方程y″+y=0的解是（ ） A．y=1 C．y=sinx
?B．y=x D．y=ex
1?(?2)3nn19．无穷级数?n?1（ ）
A．绝对收敛 C．发散
?B．条件收敛 D．敛散性不确定
(?1)n2n20．幂级数?n?1(x?3)n的收敛区间为（ ）
A．（2，4） C．?2， 4?
B．［2，4］ D．?2， 4?
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）
请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。
1?x1?xx21．函数y?22．极限lim的反函数为_______________. ＝_______________.
sin3xx???23．曲线y=e－x的水平渐近线是_______________.
24．设函数f(x)=(x－1)(x－2)…(x－100)，则f′(1)= _______________. 25．不定积分?26．
ddx11?5x2dx?_______________.
?12sinxx22xdx?_______________.
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27．在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）关于yoz坐标面的对称点为_______________. 28．设函数z=3xcos3y，则dz=_______________.
?29．幂级数?n?11npx(p?0为常数)的收敛半径是_______________.
n30．函数f(x)＝
11＋2x的x的幂级数展开式为_______________.
三、计算题（本大题共5小题，每小题5分，共25分） 31．求极限limtgx?sinxx3x?0.
32．求曲线???x?1???y?t?tt2 在点P（2，2）处的切线方程。
?1?xe,0?x?1?233．设函数f(x)??1?x，求定积分
?2?x, 1?x?2??20f(x)edx.
x34．计算曲线积分
?(x3?3xy)dx?(y3C?2xy)dy,
其中C是由A（1，1）到B（2，2）的直线段.
35．求微分方程
y(1?x)dy?x(1?y22)dx?0
的通解.
xa22四、应用和证明题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 36．在椭圆
?yb22?1内作内接矩形，试问其长、宽各为多少时，矩形面积最大？此时面
积值等于多少？
37．设函数f(x)在（－∞，＋∞）内可导，求证：若f(x)为奇函数，则f′(x)为偶函数. 38．已知函数u=f(x+ay)+g(x－ay)，其中f和g均为二阶可导函数，
证明：
?u?y22?a2?u?x22?0.
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