[对应学生用书P31]
一、导数的概念 1．导数
函数y＝f(x)在区间(a，b)上有定义，x0∈(a，b)，当Δx无限趋近于0时，比Δyf?x0＋Δx?－f?x0?值＝无限趋近于一个常数A，则称f(x)在点x＝x0处可导，称ΔxΔx常数A为函数f(x)在点x＝x0处的导数，记作f′(x0)．
2．导函数
若f(x)对于区间(a，b)内任一点都可导，则f′(x)在各点的导数中随着自变量x的变化而变化，因而也是自变量x的函数，该函数称为f(x)的导函数．记作f′(x)．
二、导数的几何意义
1．f′(x0)是函数y＝f(x)在x0处切线的斜率，这是导数的几何意义． 2．求切线方程： 常见的类型有两种：
一是函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程”，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为
y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
二是函数y＝f(x)“过某点的切线方程”，这种类型中，该点不一定为切点，可先设切点为Q(x1，y1)，则切线方程为y－y1＝f′(x1)(x－x1)，再由切线过点P(x0，y0)得y0－y1＝f′(x1)(x0－x1)，又y1＝f(x1)，由上面两个方程可解得x1，y1的值，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
三、导数的运算 1．基本初等函数的导数
(1)f(x)＝C，则f′(x)＝0(C为常数)； (2)f(x)＝xα，则f′(x)＝α·xα－1(α为常数)； (3)f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f′(x)＝axln a；
1
(4)f(x)＝logax(a＞0，且a≠1)，则f′(x)＝(5)f(x)＝sin x，则f′(x)＝cos x； (6)f(x)＝cos x，则f′(x)＝－sin x. 2．导数四则运算法则
(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)； (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；
；
xln a
?f?x??f′?x?g?x?－f?x?g′?x???(3)?(g(x)≠0)． ?′＝2?x?g?x?g??四、导数与函数的单调性 利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)；
(2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间．
特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．
五、导数与函数的极值 利用导数求函数极值的步骤： (1)确定函数f(x)的定义域； (2)求方程f′(x)＝0的根；
(3)检验f′(x)＝0的根的两侧的f′(x)的符号，若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值．
若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值，否则此根不是f(x)的极值点． 六、求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法与步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值；
(2)将(1)求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值．
特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以判断f(x)在该点处取得最大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
七、导数的实际应用
利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：
(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要从问题的实际意义去考查，不符合实际意义的值应舍去．
(2)在实际问题中，由f′(x)＝0常常仅解到一个根，若能判断函数的最大(小)值在x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值．