( 密 封 线 内 不 答 题 ) ………………………………………密………………………………………………封………………………………………线…………………………………… 姓名: 学号: 系别: 年级专业: 2007--2008 学年第一学期
《 高等数学(A)I 》试卷答案
开课单位： 数学教研室 ，考试形式：闭卷，允许带 入场
题序 得分 评卷人 一 二 三 四 五 六 总 分 一、填空题（共48分 每小题3分）
1．f(x)?1?1?x2的定义域是[?1,0)?(0,1]. x_____________ ________ 2．lim?x?sin??0．
x?0??1?x?x?2?3．lim?1???e2.
x???x?4．设f(x)???2?x,?acosx,x?0是连续函数，则a?2. x?05．函数f(x)在点x0处连续是f(x)点x0处可微的___必要____条件. 6．曲线y?cosx在点(,0)处的切线方程为x?y??. 2?0?2
7．若y??x?e)dx. x?lnx?e?x，则dy?(21x?1x?x?1??sinx?(x?1)cosx8．?. ??2sinx?sinx??x?at2dy3b?t． 9．若?，则3dx2a?y?bt10．设f(x)的一个原函数为lnx，则f?(x)??1．． x2《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 1页 共 5 页
11．
?f?(x)dx?f(x)?C．
12．
1cos(3x?2)dx?sin(3x?2)?C． ?313．广义积分
?1??1dx的敛散性是_收敛_． 2xx2d14．
dx?e1xt2dt?e．
15．抛物线y?sinx与x轴在第一象限所围的图形的面积A?_2_．
16．由曲线y?x2，直线x?0,x?1及x轴所围成的平面图形绕x轴旋转而成的立体的体积V??． 5二、解答题（共15分 每小题5分）
2?3n?3?(?2)n1．lim. nn??3?2??lim[2?3???] ????3? n???3??2 ????2? 2．limntan3x.
x?0sin2x3sec23x ????3? ?limx?02cos2x?3 ????2? 23．lim?…………………………1??1?x?. x?0?xe?1?ex?1?x?lim ????1? x?0x(ex?1)《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 2页 共 5 页
ex?1 ????2? ?limxx?0e?1?xexex ????1? ?limxxxx?0e?e?xe?1 ????1? 2三、解答题（共15分 每小题5分）
1．设y?ln(x?1?x2)?arctan1?e2,求y? . x?1????2? ????3? ?x? y???x?1??x?1?x2?1?x21?1???1??1?2?x?11?x2?1 ????2? 21?x2．设函数y?xsinx(x?0)，求dy.
lny?sinx?lnx ????1?
1sinx ????2? ?y??cosx?lnx?yxy??xsinx(cosx?lnx?dy?xsinx(cosx?lnx?sinx) ????1? xsinx)dx ????1? xdy． dx3．已知y?y(x)是由方程y?1?xey所确定的隐函数，求
dydy?eyy?xey ????3? dxdxdyey ????2? ?ydx1?xe
《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 3页 共 5 页
dyey或dx?2?y 四、解答题（共10分 每小题5分）
1．
?411x?xdx．
令x?t2，则
?4122t1x?xdx??1t2?tdt ????2? ??221t?1dt ????1? ?2ln(t?1)21 ????1?
?2ln32 ????1?
2．?xcosx2dx．
??xd(2sinx2) ????2?
?2xsinx2?2?sinx2dx ????2? ?2xsinx2?4cosx2?C ????1? 五、(7分)求函数f(x)?x3?3x2?9x?5的单调区间和极值．
解：求导数
f?(x)?3x2?6x?9， ????1?
令f?(x)?0，得x1??1,x2?3 ????1?
… … (??,?1) ?1 (?1,3) 3 (3,??)…… f?(x) ? 0 ? 0 ? …f(x) ? 极大值 ? 极小值 ?……《 高等数学(A)I(本科)》试卷第 4页 共 5 页
… …………???2? ? 函数的单调增区间为(??,?1)?(3,??)，单调减区间为(?1,3)． ????2?
极大值为f(?1)?10，极小值为f(3)??22． ????1?
六、(5
分)阅读理解． 设函数f1(x),f2(x),f3(x)在区间I上有定义，称
f(x)?(f1(x),f2(x),f3(x))为3维向量值函数，其一阶导数定义为f?(x)?(f1?(x),f2?(x),f3?(x))；又设g(x)?(g1(x),g2(x),g3(x))，定义f(x)与g(x)的数量积为f(x),g(x)??f(x)g(x)．
iii?13 例：设f(x)?(x,x2,x3)，g(x)?(1,x,3x)，则f?(x)?(1,2x,3x2)，
f(x),g(x)?x?1?x2?x?x3?3x?x?x3?3x4． 设 f(x)?(x,x2,x?2)，g(x)?(2,x,x2)，求解下列问题： (1) f(x),g(x)，f?(x),g(x)，f(x),g?(x)； (2) 根据(1)的结果，你能得到什么结论，并加以证明．
解：（1）f(x),g(x)=(2x?x3?(x?2)x2)??2?4x?6x2，????1?
??f?(x),g(x)?2?3x2，f(x),g?(x)?3x2?4x； ????1?
（2）根据(1)的结果，能得到
?f(x),g(x)=f?(x),g(x)+f(x),g?(x) ????1?
事实上，f(x),g(x)????f(x)g(x)????(f(x)g(x))?
iiiii?13i?1i?133??(fi?(x)gi(x)?fi(x)gi?(x))
?f?(x),g(x)?f(x),g?(x)．????2?
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