2008～?2009学年第一学期
《高等数学（A）》课程期末考试(A卷)试题解答及评分标准
一、 填空题(每题3分,共15分)
1.?x/1?x?3?或?1,3?或1?x?3; 2. y?Ce3. 6; 4. e; 5. x?7y?6?0.
二、 单项选择题(每题3分,共15分) 1.(C); 2. (C); 3. (C); 4. (B); 5. (D).
三、 计算题:（9分） 1. 解:
1?x2或lny?1?x2?C;
x??0?limxln?1?x2?0tsintdt??limx??0x0tsintdtx2 1分
xsinx1lim?limsinx 3分 =x??02x2x??0
或解
?0 4分
?limxsinx x??0 2分
ln?1?x2?x??02x1?x21?lim?1x2??sxi n? 3分 x??020?limxtsintdt
?0 4分
?cscxcos3x??1cos3x?1?cos3x??2. 解:lim? 1分 ??lim???limx?0x?04xsinxx?04xsinx4x4xsinx4xsinx????1?cos3x =lim 2分 2x?04x?3cos2x??sinx? =lim 4分
x?08x3 ? 5分
8
四、 计算题：（15分） 1.解: 两边取对数,得 lny?lne1x111111xsinx?lnex?lnxsinx??lnx?lnsinx 2分
222x44 两边关于x求导,得
y?111cosx??2??? 4分 y2x4x4sinx y??e1xxsinx(?111??cotx) 5分 22x4x4dydydtsint???tant 2分 2. 解:
dxdxcostdt d2ydx2?d?dy?dx??dx???ddt?tant??dtdx?sec2t?1dx 4dt ?sec2t?1cost?sec3t???或1?cos3t?? 53. 解: dy?ef?x?df?ex??f?ex?def?x? 2=ef(x)f?(ex)exdx?f(ex)ef(x)f??x?dx 4 =ef(x)(f?(x)f(ex)?exf?(ex))dx 5
五、 计算题(5分)
解: ∵
f?x?在x?0处连续,
∴f??0??limln?b?x?x2x??0??lnb?f?0??1 2 b?e 3 ∴f??0??xlim??0?a?x2??a?f?0??1 5
六、 计算题：（15分） 1. 解: 方法一.
?11?cos1?cosxdx??x1?cos2xdx????1cosx??sin2x?sin2x??dx ??cs2cxdx??dsinxsin2x ??coxt?1sinx?C 1 方法二. ?1?cosxdx??1dx?csc2xdx2sin2x?22 2 =
?cotx2?C 分 分 分
分
分 分
分
分
2分 3分 5分 3分 5分
2. 解:
??2?x?2?24?xdx??x4?xdx?2??22222?24?x2dx 1分
=0+4=4?或解
2?204?x2dx 3分
2??2?4 =4? 5分
2??2?x?2?4?xdx??x4?xdx?2??2222?24?x2dx 1分
=0+4??204?x2dx 3分
? x?2sint43.解:
?202cost?2costdt?16?2cos2tdt= 4? 5分
0?xf??x?dx??xdf?x??xf?x???f?x?dx 1分
?f?x?dx?xf?x??arcsinx?C 3分
，则
?xf?x?? 又因
?f?x?dx?arcsinx?C，故
f?x??11?x2?xf??x?dx? 证明: 令hx1?x2?arcsinx?C 5分
七、 证明题(4分)
?x??f?x??g?x? 1分
则h?x?在?a,b?上连续,且
h?a??f??a? 由罗尔定理知,在
即
f?
八、 计算题:(11分) 1. 解: 对
0,?h?g?a??b???f?b??g?0b 3分
?a,b?内必存在一点?,使得h????f????g????0,
???g??? 4分
?x0ty?t?dt?x2?y?x?两边关于x求导,得
xy?x??2x?y??x?,即y??xy??2x 2分
???x?dx???x?dx???y?e(?2x)edx?C??? 3分
??
xx2?????x2?e2d????C??e2 =e???2???? 显然x?0,y?0??0,故C??2 x?1?e2 ∴y?x??2??2x2222x??x?2e2?C??2?Ce2 5分 ?????22??? 6分 ?? 或解:对应齐次方程为
y??xy?0
dy ∴dx?xy,dyy?xdx dy ?y??xdx,lny?12x2?C1 x2 齐次方程的通解为 y?Ce2 2x2 设原函数的解为y?u?x?e2 3 代入方程
y??xy??2x,整理后得
??x2x22x2 u?x???2xe2,u?x??2?e?2d(?x)??222e?C
?222 原函数的通解为y???e?xx2?C?x2?e2?2?Ce2??? 5 显然x?0,y?0??0,故C??2
?x2 ∴y?x??2?1?e2?????? 6 或解: 对?x20ty?t?dt?x?y?x?两边关于x求导,得
xy?x??2x?y??x?,即y??xy??2x 2dy y??xy?2x?x?y?2?,y?2?xdx 3 积分,得
lny?2?112x2?C,y?2??eC11e2x21?Ce2x2 5 显然x?0,y?0??0,故C??2
分 分
分
分 分
分 分 x??1?e2? 6分 ∴y?x??2?????2. 解: 齐次方程y???2y??3y?0的特征方程为
2r2?2r?3?0
其特征根为:r1??3,r2 故齐次方程的通解为 Y?1 2分
?C1e?3x?C2ex(C1,C2为任意常数) 3分
?3x 因???3是特征单根,故y???2y??3y?2xe的特解形式为
九、 计算题(6分) 解: 求交点
y??x?b0x?b1?e?3x 5分
?y?2x?x2?x?2?c?? ? 2分
y?c2?c??y?cx?? 依题意,有 2?2?c0[?2x?x??cx]dx???2x?x2?dx 4分
2021433 得?2?c???c?2?4 6分
33
十、 证明题(5分) 证明: 令
1p1f?x??x??x 1分
pqf??x??xp?1?1?0,得唯一驻点x?1 2分
f???x???p?1?xp?2,f???1??p?1?0
f?x?在x?1处取得极小值, 4分 f?x?在x?1处取得最小值,
所以
从而
11 ∴对任意x?0,f?x??f?1????1?0
pq1p1x??x 5分 ∴pq