(1)证明：AC⊥平面POD；
(2)求直线OC和平面PAC所成角的正弦值．
(1)证明 如图，因为OA＝OC，D是AC的中点，所以AC⊥OD.
又PO⊥底面⊙O，AC?底面⊙O，所以AC⊥PO.而OD，PO是平面POD内的两条相交直线，所以AC⊥平面POD.
(2)解 由(1)知，AC⊥平面POD，又AC?平面PAC，所以平面POD⊥平面PAC.在平面POD中，如图，过O作OH⊥PD于H，则OH⊥平面PAC.连接CH，则CH是OC在平面PAC上的射影，所以∠OCH是直线OC和平面PAC所成的角． 1在Rt△ODA中，OD＝OA·sin 30°＝2.
PO·OD
＝
PO2＋OD212×22＝3. 12＋4
在Rt△POD中，OH＝
OH2
在Rt△OHC中，sin∠OCH＝OC＝3. 2
故直线OC和平面PAC所成角的正弦值为3.
本题考查垂直关系的证明，线面角的求解及逻辑推理能力、空间想
象能力和运算求解能力．试题的难点是第二问的线面角，其中作出线面角是解题的关键，作线面角就是找直线上的点在平面内的射影，一个根本的方法就是通过两个平面互相垂直的性质定理得出点在平面上的射影．
空间距离的计算
高考试题中直接考查距离求解的不多，但距离是立体几何的重要内容之一，在计
算空间几何体的体积、空间角时，往往需要计算距离．距离问题的关键是“垂直”，通过作垂线把求解的距离问题纳入到一个具体的平面图形中进行计算．距离问题也与逻辑推理、空间想象密不可分，是立体几何考查逻辑推理能力和空间想象能力的深化．
【示例5】?(2011·重庆)高为2的四棱锥SABCD的底面是边长为1的正方形，点S、A、B、C、D均在半径为1的同一球面上，则底面ABCD的中心与顶点S之间的距离为( )．
2＋3103
A.2 B.2 C.2 D.2
解析 设题中的球的球心为O，球心O与顶点S在底面ABCD上的射影分别是O1，E，连接OA，OB，OC，OD，OS，则有OA＝OB＝OC＝OD＝OS＝1，点O1是底面正方形ABCD的中心，OO1∥SE，且OO1＝OA2－O1A2＝
?2?
12－??2
?2?
2
＝2，SE＝2.在直角梯形OO1ES中，作OF⊥SE于点F，则四边形OO1EF是222
矩形，EF＝OO1＝2，SF＝SE－EF＝2－2＝2.在Rt△SOF中，OF2＝OS212?2?
－SF2＝1－??2＝2，即O1E＝2.在Rt△SO1E中，SO1＝O1E2＋SE2＝
?2?10?2?2
??＋?2?2＝
2，选A. ?2?答案 A
本小题主要考查了考生的空间想象能力以及如何有效地利用已知条
件恰当地将空间问题平面化，从而借助于平面几何知识解决相关问题．
【训练】 (2011·北京)如图，在四面体PABC中，PC⊥AB，PA⊥BC，点D，E，F，G分别是棱AP，AC，BC，PB的中点．
(1)求证：DE∥平面BCP；
(2)求证：四边形DEFG为矩形；
(3)是否存在点Q，到四面体PABC六条棱的中点的距离相等？说明理由． (1)证明 因为D，E分别为AP，AC的中点，所以DE∥PC.又因为DE?平面BCP，所以DE∥平面BCP.
(2)证明 因为D，E，F，G分别为AP，AC，BC，PB的中点， 所以DE∥PC∥FG，DG∥AB∥EF. 所以四边形DEFG为平行四边形． 又因为PC⊥AB，所以DE⊥DG. 所以四边形DEFG为矩形．
(3)解 存在点Q满足条件，理由如下： 如图，连接DF，EG，设Q为EG的中点．
1由(2)知，DF∩EG＝Q，且QD＝QE＝QF＝QG＝2EG. 分别取PC，AB的中点M，N，连接ME，EN，NG，MG，MN.
与(2)同理，可证四边形MENG为矩形，其对角线交点为EG的中点Q，且QM1
＝QN＝2EG，所以Q为满足条件的点．