用导数解决函数的单调性、极值、最值的方法步骤
湖南省邵东县第一中学 刘玉 （邮编：422800）
极值是一个局部概念 由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小 并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小 函数的极值不是唯一的 即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 极大值与极小值之间无确定的大小关系 即一个函数的极大值未必大于极小值. 函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点 而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点 用导数判别f(x0)是极大、极小值的思路: 若x0满足f?(x0)?0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f?(x)在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f?(x)在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值 求函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的根 (3)用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格.检查f′(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f(x)在这个根处无极值 在闭区间?a,b?上连续的函数f(x)在?a,b?上必有最大值与最小值；在开区间(a,b)内连续的函数f(x)不一定有最大值与最小值. 函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的，函数的极值是比较极值点附近函数值得出的． 函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个 利用导数求函数的最值步骤:⑴求f(x)在(a,b)内的极值；⑵将f(x)的各极值与
f(a)、f(b)比较得出函数f(x)在?a,b?上的最值 22例1 求列函数的极值：（1）y?(x?1)(x?2)；（2）y?22/2x?2 2x?12解：（1）?f(x)?(x?1)(x?2),?f(x)?(x?1)(5x?7)(x?2)
/令f(x)?0，得驻点x1?1,x2?7,x3?2 51
x f/(x) f(x) (??,1) + ↗ 1 0 极大 7(1,) 5- ↘ 7 50 极小 7(,2) 5+ ↗ 2 0 (2,??) + ↗ 7108是函数的极小值. ?f(1)?0是函数的极大值；f()??531252x2(1?x2)?2x?2x2(1?x)(1?x)/（2）?f(x)?2 ?2,?f(x)??2222x?1(1?x)(1?x)令f/(x)?0，得驻点x1??1,x2?1
x f/(x) f(x) (??,?1) - ↘ 极小
-1 0 极大 极大
(?1,1) + ↗ =-1值。
1 0 极小 (1,??) - ↘ ?当x??1时，f=-3；当x?1时，f2?x 例2 设f(x)?(ax?x?1)?e(e为自然对数的底，a为常数且a?0,x?R），
f(x)取极小值时，求x的值.
解：f?(x)?(2ax?1)?e ??e?z?x?(ax2?x?1)?e?x?(?1)
?(ax?1)(x?2)
令f?(x)?0?x??1或2 a11（1）当??2即??a?0，由表
a2x f′(x) f（x） （－∞，－2） + ↗ －2 0 极大值 1(?2,?) a－ ↘ ?1 a1(?,??) a+ ↗ 0 极小值 2
1?x??时,f(x)取极小值.
a111?2即a??时,f?(x)???e?x?(x?2)2?0无极值. a2211（3）当??2即a??时，由表
a2111(?2,??) (?,?2) ? （－∞，－） x －2 aaa（2）当?f′(x) f（x） + ↗ 0 极大值 － ↘ 0 极小值 + ↗ ?x??2时,f(x)取极小值.综上,当?1211?a?0时,x??时,f(x)取极小值 2a 当a??时,x??2时,f(x)取极小值。 例3 求抛物线y?12x上与点A(6,0)距离最近的点。 212解：设M(x,y)为抛物线y?x上一点，
2则|MA|?(x?6)2?y2?(x?6)2?14x。 4?|MA|与|MA|2同时取到极值，
令f(x)?|MA|?(x?6)?2214x。 4由f/(x)?(x?2)(x2?2x?6)?0得x?2是唯一的驻点.
|MA|???,?f(x)???,?x?2是f(x)的最小值点，当x???或x???时，
此时x?2,y?1?22?2. 212即抛物线y?x上与点A(6,0)距离最近的点是（2，2）.
2例4 设函数f（x）=x2?1－ax，其中a＞0，求a的范围，使函数f（x）在区间
［0，+∞）上是单调函数.
分析：要使f（x）在［0，+∞）上是单调函数，只需f′（x）在［0，+∞）上恒正或恒负即可.
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解：f′（x）=
x1?x2－a.
当x＞0时， 0?x1?x2?1
x1?x2因为a＞0，所以当且仅当a≥1时，f′（x）= －a在［0，+∞）上恒小于0，
此时f（x）是单调递减函数.
点评：要使f（x）在（a，b）上单调，只需f′（x）在（a，b）上恒正或恒负，即f′（x）＞0（或＜0）?单调递增（或减）.
例5 已知函数f（x）=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（1）讨论f（1）和f（－1）是函数f（x）的极大值还是极小值； （2）过点A（0，16）作曲线y=f（x）的切线，求此切线方程. 解：（1）f′（x）=3ax2+2bx－3，
?3a?2b?3?0,依题意，f′(1)=f′(－1)=0，即?
3a?2b?3?0.?解得a=1，b=0.
∴f（x）=x3－3x，f′（x）=3x2－3=3（x+1）（x－1）. 令f′（x）=0，得x=－1，x=1. 若x∈（－∞，－1）∪（1，+∞），则f′（x）＞0，故 f（x）在（－∞，－1）上是增函数， f（x）在（1，+∞）上也是增函数. 若x∈（－1，1），则f′（x）＜0，故f（x）在（－1，1）上是减函数. 所以f（－1）=2是极大值，f（1）=－2是极小值.
（2）曲线方程为y=x3－3x，点A（0，16）不在曲线上. 设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足y0=x03－3x0. 因f′（x0）=3（x02－1），故切线的方程为y－y0=3（x02－1）（x－x0）. 注意到点A（0，16）在切线上，有 16－（x03－3x0）=3（x02－1）（0－x0）， 化简得x03=－8，解得x0=－2. 所以切点为M（－2，－2），切线方程为9x－y+16=0.
点评：本题考查函数和函数极值的概念，考查运用导数研究函数性质和求曲线切线的方法，以及分析和解决问题的能力.
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