第1章习题解答
?1.4 计算下列标量场u的梯度?u：
（1）u?xyz； （2）u?xy?yz?zx； （3）u?3x?2y?3z。
???u??u??u???34224233?ey?ez?ex2xyz?ey3xyz?ez4xyz 解：（1） ?u?ex?x?y?z???u??u??u????ey?ez?ex?y?z??ey?x?z??ez?y?x? （2）?u?ex?x?y?z???u??u??u????ey?ez?ex6x?ey4y?ez6z （3）?u?ex?x?y?z2342221.6 设f?x,y,z??xy?yz?1。试求在点A?2,1,3?处f的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导
数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？
???f??f??f???22?ey?ez?ex2xy?ey?x?2yz??ezy 解： ?f?ex?x?y?z?因为?f??f??f??f????ex?ey?ez?ex4?ey10?ez
?x?y?z22A所以
?f?l?f?lmin?max117????el??ex4?ey10?ez??117
??117????el???ex4?ey10?ez117
1.10 求下列矢量场在给定点的散度值：
????（1）A?xyz?exx?eyy?ezz?在M?1,3,2?处；
????2（2）A?ex4x?ey2xy?ezz在M?1,1,3?处；
?12???222（3）A??exx?eyy?ezz??x?y?z?在M?1,1,1?处。
???Ay?Ax?Az???2xyz?2xyz?2xyz?6xyz解：（1） ??A??x?y?z???Ax?x?Ay?y?Az?z????A????AM?36
（2）??A????4?2x?2zM?12
???Ay?Ax?Az??（3）??A? ?x?y?z?x?y?z?x22223??x?y?z222???x?y?z?yx?y?z22222223???x?y?z?zx?y?z22222223??2x?y?z222
????A
23 1
M1.15 求下列矢量场在给定点的旋度：
??2?2?2（1）A?exx?eyy?ezz在M?1,0,?1?处； ????（2）A?exyz?eyzx?ezxy在M?2,1,3?处；
????（3）A??ex?ey?ez?xyz在M?1,1,?1?处。
e?x解：（1）????A???xAxe?x（2）????A???xAxe?x（3）????A???xAx
e?ye?z?????y?z?0??A?0
MAyAze?ye?z?????y?z?0??A?0
MAyAze?ye?z???y?z?e??xz?xy??e??xy?xy?yz??ez?yz?xz?AyAz????A?0M2