第17课时 直线与平面垂直的判定和性质（二）
教学目标：
使学生掌握直线和平面垂直的性质，点到面的距离，线到面的距离；对学生进行转化思想渗透，培养学生空间想象能力；使学生从问题解决过程，认识事物的发展、变化、规律。
教学重点：
直线和平面垂直的性质。
教学难点：
性质定理的证明、等价转化思想的渗透。
教学过程：
1．复习回顾：
1.判定直线和平面垂直的方法有几种？ ［生］定义，例1的结论、判定定理.
2.各判定方法在何种条件或情形下方可熟练运用？
［生］若能确定直线和平面内任意一线垂直，则运用定义说明.若能说明所证直线和平面的一条垂线平行，则可运用例题结论说明之.
若能说明直线和平面内两相交线垂直，则运用判定定理去完成判定. 2．讲授新课：
［师］直线和平面是否垂直的判定方法上节课已研究过，这节课我们来共同探讨：直线和平面如果垂直，则其应具备的性质是什么？
下面先思考一个问题： 例1：已知:a⊥α，b⊥α. 求证：b∥a.
［师］此问题是在a⊥α，b⊥α的条件下，研究a和b是否平行，若从正面去证明b∥a，则较困难，而利用反证法来完成此题，相对要容易，但难在辅助线b′的做出，这也是立体几何开始这部分较难的一个证明.
在师的指导下，学生尝试证明，待后给出过程.
证明：假定b不平行于a，设b∩α＝O，b′是经过点O与
直线a平行的直线
∵a∥b′，a⊥α ∴b′⊥α
即经过同一点O的两条直线b、b′都垂直于平面α，而这是不可能的， 因此，b∥a.
有了上述证明，师生可共同得到结论：
直线和平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行，
也可简记为线面垂直、线线平行.
［师］下面给出点到面的距离.
从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间距离叫做这个点到这个平面的距离.
应明白，点到面的距离是一线段.
同学思考例2、考虑其证法，特别是其转化的思想.
例2：已知一条直线l和一个平面α平行，求证：直线l上各点到平面α的距离相等.
生依题思考片刻，师可指导生找解题途径.
［师］要证明结论，需说明其上任两点到面距离相等即可，而这两条相等的线段若是能使其夹在两平行线间最好，为此，去作辅助面完成证明. 证明：经过直线l上任意两点A、B分别引平面α的垂线
AA′，BB′，垂足分别为A′、B′.
因AA′⊥α，BB′⊥α???∴AA′∥BB′
设经过AA′和BB′的平面为β，β∩α＝A′B′
∵l∥α????∴l∥A′B′????????∴AA′＝BB′
由A、B是直线l上任取的两点，可知直线l上各点到平面α的距离相等. 以上证明生在师指导下完成.
［师］从整个证明过程能否看出转化思想渗透.
在教师的指导下：
［生］从证明过程看出，这是一道空间图形的问题，问题的求解关键是利用辅助面β，平面β起了一个桥梁作用，它将空间问题转化为平面问题，即在同一平面内（β），解决平行线间的平行线段相等问题，这就容易多啦.
［师］说的很好，许多空间问题都需这样转化为平面问题，在以后的学习中，大家不妨体会该思想、感悟其意图，
其次由该题可得下面结论.
一条直线和一个平面平行时，这条直线上任意一点到这个平面的距离，叫做这条直线和这个平面的距离.
而线面距离也是通过转化为点面距离而完成的.
例3：如图，已知AC＝AB＝BD，AC⊥AB，BD⊥AB，且AC和BD所成的角为600，求AB和CD所成的角。
解：分别作BE∥CD，CE∥BD，BE、CE相交于E，
连结AE
∵BD⊥AB，CE∥BD ∴AB⊥CE，又AC⊥AB
∴AB⊥平面ACE，得AB⊥AE
∵AC＝BD，CE＝BD ∴AC＝CE 又∠ACE＝600， ∴△ACE是正三角形 得AC＝AE，又AC＝AB
∴AB＝AE，得所求角为450。
另：当∠ACE＝1200时，所求角为600。 3．课堂练习：
?（一）P35 练习3.??? （二）补充练习
1）已知直线a、b、c和平面β，则a∥b的充分条件是 （ ） A．a∥β，b∥β B．a⊥β,b⊥β C．a⊥c，b⊥c D．a与c，b与c所成角相等
2）平面α外的点A到平面α内各点的线段中，以OA最短，那么OA所在直线?与平面α的关系是 （ ） ?A.平行?? B.垂直????C.在α内 D.不确定 3）如果平面外一直线上有两点到这个平面的距离相等，则这条直线和这个平?面的位置关系是 （ ） ?A.平行??? B.相交????C.平行或相交 D.一定垂直 4）矩形ABEF和矩形EFCD不共面，已知EF＝4，BD＝5， 求平行直线AB与CD之间的距离.
解答：
1.排除法找满足题意的选择支B
［对于选择支A，平行于同一面的两线可能相交，也 可能异面，故不一定推出a∥b，排除A.
对于选择支C，因垂直于同一线的两线可能异面、故排除C. 对于选择支D，若a、b、c三线能围成三角形.
且a与c、b与c成角相等，则a与b不平行，排除D，故选B. 而B利用性质定理可验证其正确.］ 2.此题也可用排除法找到正确选择支B
［满足题目的线段，其一个端点在平面外，故A、C应排除，因该线不会和平面又平行，也不会在平面α内，而满足OA最短的线只有一条，故应选B，或依平面外一点和平面内各点的连线垂线段最短，从而选B.］
3.利用分类讨论找选择支C
［平面外的直线上有两点到这个平面的距离相等，这条直线和这个平面的位置取决于点与平面的关系，与这两点在平面的同侧时，直线和平面平行，当这两点在平面的异侧时，直线和平面相交.］
4.［此题的解决主要是充分利用直线和平面垂直判定及平行线间的距离完成.］
解：因ABEF及EFCD都是矩形，故应有
EF⊥BE，EF⊥CE，而BE∩CE＝E 故EF⊥面BEC 而AB∥EF，CD∥EF 则AB⊥面BEC，CD⊥面BEC BC?面BEC 那么 AB⊥BC，CD⊥BC BC就是AB与CD间的距离
BC2＝BD2－CD2＝25－16＝9 即BC＝3. 4．课时小结：
1.能正确利用性质定理解题.
2.等价转化思想在线面距离?点面距离中的渗透. 5．课后作业：
课本P38 习题第5，7，8，9题.