单摆振动中的等效问题
温州育英国际实验学校 齐洪波 325036
单摆是由一根不能伸长的细线，系一个视为质点的摆球构成。在摆角（新教材
）时，摆球的运动可视为简谐运动。等效方法是通过对问题中的某些因素进行变换或
直接利用相似性，移用某一规律进行分析而得到相等效果，利用等效法不仅可以使问题变得简单易解，而且活跃了学生的思维。
在通常情况下，很多物体的运动模型可等效为单摆模型，单摆振动中的等效问题包括模型的等效、摆长的等效、重力加速度的等效及周期的等效。等效单摆的周期公式可以广义地表
示为 式中为等效摆长，为等效重力加速度。
一、 等效单摆摆长
所谓摆长意味着悬点到摆球球心间的距离。单摆的运动轨迹点是一小段圆弧，其轨道半径R与等效摆长相等，即=R。对于形异质同的单摆物理模型，不管有无“悬点”，只要搞清了
圆弧轨道的半径R，单摆的周期即可用计算。
同学们对下图中各摆等效摆长一看便知（若等效摆长不易一眼看出，则应从数学角度计算）。
图1 图2 图3
例1. 由长度依次为L和2L的AC和BC两根细绳悬挂小球C，如图4所示，每根细绳跟竖直方向的夹角均为30°，当该小球向纸内外做微小摆动时，其摆动周期为___________。
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图4 图5
简析：本题是一个双线摆问题，解决其周期，首先得确定其等效摆长，连接AB，然后过摆球C作竖直线交直线AB于O点，则OC为该摆的等效摆长，如图5所示，L”
，
故周期：
例2. 如图6所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A距离远小于R，两质点B和C都由静止开始释放，问哪一个小球先到A点？
图6
简析：B球到A点时间用自由落体运动规律求解，其时间：
C球在光滑圆弧槽内往复运动可看作等效单摆运动，半径R为等效摆长。第一次到达A点用单摆周期公式：
显然，
，即B球先到。
讨论：要使两球在A点相遇，可使B球上移，问此时B球高度h为多少？ 分析：B球下落时间为：
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又C点运动具有重复性，两球相遇时间必有多解，相应的h值亦应有多解：
，
解得：
二、 等效重力加速度
等效重力加速度的大小等于摆球的视重（摆球相对悬点静止时线的拉力F）与摆球的质量m之
比，即。求的基本步骤如下：
（1）分析摆球的受力，确定摆球相对静止的位置（即平衡位置）。 （2）计算摆球的视重。
（3）利用，求出视重加速度。
应当注意，在计算拉力时，不能将始终沿悬线方向的力（法线方向）包括在内。因为只有对回复力有贡献的力，才能改变振动周期。如图7几种情况，振动周期不变。
图7
例3. 如图8所示的摆球，由于受到横向风力的作用，偏过角。若绳长为l，摆球质量为m，且风力稳定，当摆球在纸平面内平衡位置附近振动时，其周期为（ ）。
A. B. C. D.
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图8 图9
解析：平衡时摆球受重力mg，风力摆球的视重为
，线的拉力，受力分析如图9所示。由力的平衡可得，
等效重力加速度为
所以摆的周期为
故选项B正确。
例4. 如图10，用一根细线，长为l，将一个密度的小球拴在盛水容器
的底部。若使小球稍偏离平衡位置而振动，求它的周期是在空气中周期的几倍。
图10 图11
解析：设摆球的体积为V，则质量为作用，如图11所示。由力的平衡条件可得
。摆球在水中平衡时受重力mg、拉力、浮力
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等效重力加速度为摆在水中的周期为
摆在空气中的周期为
原始的单摆模型在振动过程中回复力来源于重力的分量，要研究升降机中单摆的周期问
题，必须从研究回复力着手，求出其等效重力，再求等效重力加速度，则。
例5. 在升降机中挂着一单摆，摆长为L，当升降机以加速度a匀加速上升的过程中，求单摆的振动周期T。
简析：单摆在摆动过程中，受重力和绳的张力F的作用，当升降机匀加速上升时，单摆一方面绕悬点振动，另一方面沿竖直方向作匀加速直线运动。
根据力的作用效果，将F分为三个力，如图12所示，在竖直方向上，F3与G的合力产生向上的加速度a，切线方向的F1使单摆返回“平衡”位置，产生切向加速度，F2沿摆线方向产生做圆周运动所需的向心加速度。
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