复习试题
四、计算题：
?4x1?2x2?x3?11??x1?4x2?2x3?18?2x?x?5x?22(0)Tx?(0,0,0)123?1、 用高斯-塞德尔方法解方程组 ，取，迭
代四次(要求按五位有效数字计算)。
?(k?1)1(k)(k)x?(11?2x?x)123?4??(k?1)1(k)?(18?x1(k?1)?2x3)?x24??(k?1)1(k?1)(k?1)x?(22?2x?x)312?5答案：迭代格式 ?
k 0 1 2 3 4
x1(k)(k)x2(k)x30 2.7500 0.20938 0.24043 0.50420 0 3.8125 3.1789 2.5997 2.4820 0 2.5375 3.6805 3.1839 3.7019 1 / 27
2、
11f(x)dx?A[f(?1)?f(1)]?B[f(?)?f()]??122的代数精求A、B使求积公式
1度尽量高,并求其代数精度；利用此公式求
2f(x)?1,x,x答案：是精确成立，即
I??211dxx(保留四位小数)。
?2A?2B?2?12?182A?B?A?,B??23 得?99
1811f(x)dx?[f(?1)?f(1)]?[f(?)?f()]??19922求积公式为
1当f(x)?x时，公式显然精确成立；当所以代数精度为3。
32f(x)?x时，左=541，右=3。
?1
21t?2x?311111811dx??dt?[?]?[?]?1t?3x9?1?31?39?1/2?312?3?97?0.692861402 / 27
3、 已知
xi1 3 6 4 5 5 4 f(xi)2 分别用拉格朗日插值法和牛顿插值法求f(x)的三次插值多项式P3(x)，并求f(2)的近似值（保留四位小数）。 答案：
L3(x)?2(x?3)(x?4)(x?5)(x?1)(x?4)(x?5)?6(1?3)(1?4)(1?5)(3?1)(3?4)(3?5)
?5(x?1)(x?3)(x?5)(x?1)(x?3)(x?4)?4(4?1)(4?3)(4?5)(5?1)(5?3)(5?4)
差商表为
xiyi一阶均差 二阶均差 三阶均差 2 -1 -1 -1 0 141 3 4 5
2 6 5 4 P3(x)?N3(x)?2?2(x?1)?(x?1)(x?3)?1(x?1)(x?3)(x?4)4
f(2)?P3(2)?5.5
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4、取步长h?0.2，用预估-校正法解常微分方程初值问题
?y??2x?3y??y(0)?1 (0?x?1)
(0)??yn?1?yn?0.2?(2xn?3yn)?(0)?y?y?0.1?[(2x?3y)?(2x?3yn?1nnnn?1n?1)]?答案：解：
即 yn?1?0.52xn?1.78yn?0.04
n xnyn0 0 1 0.2 1.82 2 0.4 3 0.6 4 0.8 5 1.0 1 5.8796 10.7137 19.4224 35.0279 5、已知
xi-2 -1 2 0 1 1 3 2 5 f(xi)4 求f(x)的二次拟合曲线p2(x)，并求f?(0)的近似值。 答案：解：
ixiyixi2xi3xi4xiyixi2yi0 -2 4 4 -8 4 / 27
16 -8 16
1 2 3 4 -1 0 1 2 0 2 1 3 5 15 1 0 1 4 10 -1 0 1 8 0 1 0 1 16 34 -2 0 3 10 3 2 0 3 20 41 ?正规方程组为
?5a0?10a2?15?10a1?3??10a?34a?412?0
a0?
p2(x)?10311?x?x271014
10311,a1?,a2?71014
311?(x)?p2?x107
3?(0)?f?(0)?p210
6、已知sinx区间[0.4，0.8]的函数表
0.4 0.5 0.6 0.7
xi0.8 0.38942 0.47943 0.56464
yi0.64422 0.71736 如用二次插值求sin0.63891的近似值，如何选择节点才能使误差最小？并求该近似值。
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