烟台市2012年高三第二次模拟
数学（理科）
参考公式：
锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高. 3n?k如果事件A在一次试验中发生的概率是p，那么n次独立重复试验中恰好发生k次的概率为Pn?k??CnPkk?1?P?
注意事项：
1.本试题满分150分，考试时间为120分钟.
2.使用答题纸时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，作图时，可用2B铅笔.要字迹工整，笔迹清晰.超出答题区书写的答案无效；在草稿纸，试题卷上答题无效.
3.答卷前将密封线内的项目填写清楚.
一、选择题：本大题共12小题；每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，把正确选项的代号涂在答题卡上.
1.设全集U???2,?1,0,1,2,3?,M??0,1,2?，N??0,1,2,3?，则A.?0,1,2?
B.??2,?1,3?
C.?0,3?
D.?3?
2.已知复数z1?2?i,z2?1?ai,a?R，若z?z1?z2在复平面上对应的点在虚轴上，则a的值是
A.?2
B.
1 2 C.2
D.?1 2B.?x?N,x＞x2 D.若a＞b，则a2＞b2
33.下列命题正确的是
2A.?x0?R,x0?2x0?3?0
C.x＞1是x2＞1的充分不必要条件
4.点P在边长为1的正方形ABCD内运动，则动点P到顶点A的距离PA＜1的概率为 A.
? 4 B.
1 2 C.
1 4
D.?
5.已知倾斜角为?的直线l与直线x?2y?2?0平行，则tan2?的值为 A.
4 5 B.
4 3 C.
3 4 D.
2 3 1
*6.已知数据x1，x2，x3，?，xn是某企业普通职工nn?3,n?N个人的年收入，
??设这个n个数据的中位数为x，平均数为y，方差为z，如果再加上世界首富的年收入xn+1，则这n+1个数据中，下列说法正确的是
A.年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 B.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大 C.年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变
D.年收入平均数可以不变，中位数可能不变，方差可能不变。
rrrr,1?,b??2,y??z且,a?b，若变量x,y满足约束条件7.已知向量a??x?z?x??1?，则z的最大值为 ?y?x?3x?2y?2?A.1
B.2
C.3
D.4
8.设随机变量?服从正态分布N（2，9），若p??＞c+1?=p??＜c?1?，则c= A.1 B.2 C.3 D.4 9.某几何体的三视图如右图所示，已知其正视图的周长为6，则该 几何体体积的最大值为
A.
? 2
B.?
C.
3? 2D.2?
x2y210.已知F1，F2是椭圆2?2?1（a＞b＞0）的左、右焦
ab点，点P在椭圆上，且?F1PF2??.记线段PF1与y轴的交点为Q，O为坐标原点，若2C.4?23
D.3?1
△F1OQ与四边形OF2PQ的面积之比为1：2，则该椭圆的离心率等于
A.2?3 B.23?3
11.函数y=x+sinx,x????,??的大致图象是
2
12.若偶函数y?f?x??x?R?满足f?1?xx，且当x???1,0??f?1???时，
2，则函数g?x??f?x??1gx的零点个数为 f?x??xA.7 B.8 C.9 D.10
二、填空题.本大题共有4个小题，每小题4分，共16分.把正确答案填在答题卡的相应位置.
13.执行右图所示的程序框图，若输入x=2，则输出y的值为
14.甲、乙两人从4门课程中各选修2门，则甲、乙所选的课程中至少有1门相同的选法种数为（用数字作答）
15.已知函数f?x??x?2,若a?0，且a,b?R，都有不等式a?b?a?b?af?x?成立，则若实数x的取值范围是
16.已知函数y?f?x?是R上的偶函数，对?x?R都有f?x?4??f?x??f?2?成立.当x1,x2??0,2?，且x1?x2时，都有
f?x1??f?x3?x1?x2＜0，给出下列命题：
（1）f?2??0；（2）直线x??4是函数y?f?x?图象的一条对称轴； （3）函数y?f?x?在??4,4?上有四个零点；（4）f?2012??f?0?
其中所有正确命题的序号为
二、解答题.本大题共6个小题，共74分.解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤.
17.（本小题满分12分）
在锐角三角形ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，
m??2b?c,cosC?,n??a,cosA?,且m//n.
（1）求角A的大小；
（2）求函数y?2sinB?cos?2????2B?的值域. ?3?18.（本小题满分12分）
某品牌的汽车4S店，对最近100位采用分期付款的购车者进行统计，统计结果如下
3
表所示：已知分3期付款的频率为0.2,4S店经销一辆该品牌的汽车，顾客分1期付款，其利润为1万元；分2期或3期付款共利润为1.5万元；分4期或5期付款，其利润为2万元.用?表示经销一辆汽车的利润. 付款方式 频数 分1期 40 分2期 20 分3期 a 分4期 10 分5期 b （1）求上表中的a，b值；
（2）若以频率作为概率，求事件A：“购买该器重汽车的3位顾客中，至多有1位采用3期付款”的概率P（A）；
（3）求?的分布列及数学期望E?.
19.（本小题满分12分） 已知x1?11,xn?1?x2?x?n?N*?. ?nn34（1）求证：数列?lg?xn?n????1????是等比数列； 2???5?1（2）求证：x0?????n?N*?.
?6?220.（本小题满分12分）
如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1，?ACB?90°，E是棱CC1上动点，F是AB中点，AC=BC=2.AA1=4.
（1）当E是棱CC1中点时，求证：CF//平面AEB1；
（2）在棱CC1上是否存在点E，使得二面角A—BE1—B的大小是45°，若存在，求CE的长，若不存在，请说明理由.
21.（本小题满分12分）
已知函数f?x???2?a??x?1??2lnx （1）当a=1时，求f?x?的单调区间；
（2）对任意的x??0,?,f?x?＞0恒成立，求a的最小值.
??1?2? 4
22.（本小题满分14分）
如图，过抛物线x2?4y焦点F的直线l与抛物线交点点A，B（A在第一象限），点C?0,t?（t＞1）.
（1）若△CBF，△CFA，△CBA的面积成等差数列，求直线l的方程； （2）若AB??,?964??，且?FAC为锐角，试求t的取值范围. ?27?
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