1.1.1 正弦定理导学案
命题人：邵玉春 2010.8.19
4．在?ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若A?105?,B?45?,b?22，则边
c?
探究点一：已知两角及一边解三角形
已知三角形的两角和任一边解三角形，基本思路是：
（1）若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求另一角所对边，再由三角形内角和定理求出第三个角。
（2）若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内角和定理求出第三个角，再由正弦定理求另外两边。
例1、在?ABC中，已知A?45?,B?30?,a?2，解三角形。
〖课堂笔记〗
【提示：根据三角形内角和定理先求出角C，再运用正弦定理求出另外两边.】
探究点二：已知两边及其中一边的对角解三角形
（1）已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解。在?ABC中，已知a，b和A时，解的情况。
例2、（1）已知?ABC中a?50,b?256,A?45?，求B （2）b?2,c?1,B?45?，求角C
（3）a?5,b?2,B?120?判定三角形解的个数
总结：不解三角形，如何判定解的个数。 探究点三：判断三角形的形状
（1）判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断。
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一、重点：正弦定理的推导及应用
二、复习：在初中学习的在Rt?ABC的边角关系，如图
sinA? sinB? sinC? 想象一下：
abc、、之间有什么关系呢？ sinAsinBsinC思考一下：对于任意的三角形，以上关系是否成立呢？
三、预习《自研教材，学与思》
1．正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的 的比相等，即 2．解三角形：一般地把三角形的三个角A、B、C和它们的对边a、b、c叫三角形的 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做 3．思考发现：对于正弦定理公式变变看
a如：1）a?2RsinA 2）sinA? 3）a:b:c? ： ： 2Rb? sinB? c? sinC? 自测5分钟
1．有关正弦定理的叙述：
①正弦定理仅适用于锐角三形； ②正弦定理不适用于直角三角形；
③正弦定理仅适用于钝角三角形； ④在给定三角形中，各边与它的对角的正弦的比为定值； ⑤在?ABC中，sinA:sinB:sinC?a:b:c.其中正确的个数是（ ） A.1 B.2 C.3 D.4 2．在?ABC中，sinA?sinB，则?ABC是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 3. 在?ABC中，已知a:b:c?4:3:5，则
2sinA?sinB?
sinC
（2）判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别。 例3、在?ABC中，acosA?bcosB，试判断三角形的形状。 〖课堂笔记〗
【提示：用正弦定理化边为角寻求角的关系，从而判断三角形的形状.】
变变看：若将条件“acosA?bcosB”改为“2cosBsinA?sinC”，应如何判断三角形的形状？知能提升
1．在?ABC中，已知b?2,c?1,B?45?，则a等于（ ）
A.
6?22 B.6?22 C.2?1 D.3?2 2．不解三角形，确定下列判断中正确的是（ ） A.a?7,b?14,A?30?，有两解 B.a?30,b?25,A?150?，有一解 C.a?6,b?9,A?45? ，有两解 D.b?9,c?10,B?60?，无解
3．在?ABC中，已知3b?23asinB,cosB?cosC，则?ABC的形状是（ ） A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 4．在?ABC中，若
abcosA?cosB?ccosC，则?ABC是（ ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 5．在?ABC中，A?60?,a?3，则
a?b?csinA?sinB?sinC等于（ ）
A.
833 B.2393 C.2633 D. 23 6．（2007·北京）在?ABC中，若tanA?13,C?150?,BC?1，则AB? 高考试题
7．（2008·海南、宁夏）如图，?ACD是等边三角形，?ABC是等腰直角三角形，?ACB?90?,BD交AC于E,AB?2. （1）求cos?CBE的值. （2）求AE.
8．（2009·全国 Ⅱ）设?ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，
cos(A?C)?cosB?32,b2?ac，求B.
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