专题45 动态几何之和差问题（预测题）
1．如图，AB是⊙O的一条弦，点C是⊙O优弧AB上一动点，且∠ACB=45°，点E、F分别是AC、BC的中点，直线EF与⊙O交于G、H两点，若⊙O的半径为7，则GE+FH的最大值为 ．
2．如图，在菱形ABCD中，cos?BAD?4，E是AB上一点，BE=2，AE=4BE，P是AC5上一动点，则PB+PE的最小值是 ．
3．如图，已知△ABC为等腰直角三角形，点D为边BC上的一动点（点D不与B、C重合），以AD为边作正方形ADEF（A、D、E、F按逆时针排列），连接CF。求证： CF+CD=2AC。
4．如图，等腰直角梯形ABCD中，∠ADC=∠BCD=90°，BC=CD=4，P为边AD上的一个动
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点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F。证明：DE+BF=16。
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5．如图1，已知直线y=kx与抛物线y=?4222x+x交于点A（3，6）． 273
（1）求直线y=kx的解析式和线段OA的长度；
（2）点P为抛物线第一象限内的动点，过点P作直线PM，交x轴于点M（点M、O不重合），交直线OA于点Q，再过点Q作直线PM的垂线，交y轴于点N．试探究：线段QM与线段QN的长度之比是否为定值？如果是，求出这个定值；如果不是，说明理由； （3）如图2，若点B为抛物线上对称轴右侧的点，点E在线段OA上（与点O、A不重合），点D（m，0）是x轴正半轴上的动点，且满足∠BAE=∠BED=∠AOD．继续探究：m在什么范围时，符合条件的E点的个数分别是1个、2个？
6．如图，直线l1与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线l2与直线l1关于x轴对称，已知直线l1的解析式为y?x?3．
（1）求直线l2的解析式； （2）过A点在△ABC的外部作一条直线l3，过点B作BE⊥l3于E，过点C作CF⊥l3于F，请画出图形并求证：BE+CF=EF；
（3）△ABC沿y轴向下平移，AB边交x轴于点P，过P点的直线与AC边的延长线相交于点Q，与y轴相交于点M，且BP=CQ，在△ABC平移的过程中，①OM为定值；②MC为定值．在这两个结论中，有且只有一个是正确的，请找出正确的结论，并求出其值． 7．如图1，矩形MNPQ中，点E、F、G、H分别在NP、PQ、QM、MN上，若?1??2??3??4，则称四边形EFGH为矩形MNPQ的反射四边形．在图2、图3中，四边形ABCD为矩形，
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且AB?4，BC?8．
（1）在图2、图3中，点E、F分别在BC、CD边上，图2中的四边形EFGH是利用正方形网格在图上画出的矩形ABCD的反射四边形．请你利用正方形网格在图3上画出矩形ABCD的反射四边形EFGH；
（2）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的周长各是多少；
（3）图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积是否为定值？若是定值，请直接写出这个定值；若不是定值，请直接写出图2、图3中矩形ABCD的反射四边形EFGH的面积各是多少．
8．如图，在平面坐标系中，直线y=﹣x+2与x轴，y轴分别交于点A，点B，动点P（a，b）在第一象限内，由点P向x轴，y轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P（a，b）运动时，矩形PMON的面积为定值2．当点E，F都在线段AB上时，由三条线段AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角形的外接圆面积为S1，△OEF的面积为S2．试探究：S2?S1是否存在最大值？若存在，请求出该最大值；若不存在，请说明理由．
评卷人 得分 六、新添加的题型
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参考答案
1．解：如图，连接OA，OB，
∵∠ACB=45°，∴∠AOB=90°。
∵OA=OB，∴△OAB是等腰直角三角形。∴AB=2OA = 72。 ∵E、F是AC、BC的中点，∴EF=AB=∵GE+FH=GH－EF，EF为定值，
∴要使GE+FH最大，即要GH最大。 ∴当GH为直径时，GE+FH的最大值为14?1272。 272。 212【解析】由点E、F分别是AC、BC的中点，根据三角形中位线定理知EF=AB为定值，从而应用转换思想，得到GE+FH=GH－EF，要使GE+FH最大，即要GH最大，因此，当GH是⊙O的直径时GH最大，即GE+FH最大。求出AB和长，进而求出EF的长，问题得到解决。 考点：单动点问题，圆的性质，圆周角定理，等腰直角三角形的判定和性质、三角形中位线定理，转换思想的应用。
2．解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小。 ∵四边形ABCD是菱形，∴B、D关于AC对称。 ∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE。
∵BE=2，AE=4BE，∴AE=8，AD=AB= 10。 过点D作DF⊥AB于点F， ∵cos?BAD?4，∴AF=8。 5∴点E与点F重合。∴DE?102?82?6。 ∴PB+PE的最小值是6。
【解析】如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则根据菱形的轴对称性质， PB+PE的值最小，从而由锐角三角函数定义确定Rt△ADE，从而在Rt△ADE中应用勾股定理即可求得PB+PE的
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