第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验定律进行推证
第二章利用费马原理对光的反射与折射这两个实验
定律进行推证
2.1 反射定律和折射定律
在教材中我们早就学习了折射定律和反射定律[1]，反射定律的传统表达为：入射光线与反射光线在同种介质中，且对称分居于法线两侧，即入射角i等于反射角i?，或i＝i?。折射定律的传统表达为：光折射时，折射光线、入射光线、法线在同一平面内，折射光线和入射光线分别位于法线的两侧。折射角随入射角的改变而改变：入射角增大时，折射角也增大；入射角减小时，折射角也减小。这两个定律通俗易懂，但它们在教材中都是通过实验推出，并没有从理论的角度进行推证。本章利用费马原理从理论角度对反射定律和折射定律进行推导。
我们已经学过nds称为光程，并且当两列波在同一点相遇并叠加时，其光强取决于相位差，而相位差又取决于光程差。可以证明，几何光学中，有关光线的实验事实也可以归结为光程问题，即不考虑光的波动性，而只从光线的观点出发通过光程的概念。
2.2费马原理
费马原理是费马在1650年概括光线传播的实验定律提出的[2]，其内容为：连结给定两点P和Q可以有许多路径，而光线只遵循两点间光程为极值的路径，数学表达形式为：
Q ?nds?极值（极小值、极大值或恒值） （2-1）
P费马原理要求光程为极值，可以是最小值，这是最常见的，也可以是最大值，还可以是稳定值。
几何光学的核心就是费马原理，虽然几何光学被看作是波动光学的近似，但现在光学设计中的光线追迹及光学成像等还是利用由费马原理推出的几何光学的知识，费马原理是物理学和数学的精妙结合。
2.3 折射定律的推导
设光线由P点传播到Q点， P和Q两点分别在折射率为n1和n2的均匀媒质中，首先建立笛卡儿空间直角坐标系，选两种介质的分界面为x y平面，选过P和Q两点并与媒质分界面垂直的平面为yz平面，如果P和Q两点的连线与分界
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面不垂直，yz平面选取为唯一，否则yz平面的选取不唯一，任选一个即可，如图2-1所示。设光线交xy平面于A点，由于在均匀媒质中光线沿直线传播，任意可能的路径是光线沿着直线PA传播到A点，并沿着直线AQ前进到Q点。设p点坐标为?0,y1,z1?，Q点坐标为?0,y2,z2?，A点坐标为(x,y,0)，P和Q分别在两种均匀媒介中，不在xy平面上，即，z1?0 ，z2?0。令：
l1?PA?x2?(y1?y)2?z12 l2?PQ?x2?(y2?y)2?z22 光程 ：
(PAQ)?n1l1?n2l2?n1x2?(y1?y)2?z12?n2x2?(y2?y)2?z22 光程(PAQ)是x， y的二元函数，实际光线所走路径的光程为极值，则其对x，y的偏导数为零，这时的A点设为A0，即实际光线与媒质分界面得交点为A0，
图2-1光线在折射中任意可能路径示意图
坐标标为(x,y,0)，则x0?0，即A0点在yz平面上，因此光线沿着yz平面传播，
fx(x,y)?(n1l1?1?n2l2?1)?0
过A0点作xy平面得垂线OM即为法线，其也在yz平面上，由此得出折射光线，法线，入射光线在同一平面上，如图2-2所示。图2-2中的i1为入射角，i2为折射角。光程(PAQ)在A0点对y的偏导数也为0。
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图2-2光线在两种媒质分界面的折射
fy(x,y)?n1l1?1(y?y1)?n2l2?1(y?y2)
fy(0,y)?0
n1l10(y?y)?n2l20(y?y)?0
?1?10102则：
由（2-2）式又得到：
n1因此：
(y?0n1l10(y?y)?n2l20(y?y)
?1?10120 （2-2）
(y0?y1)(y2?y)0 （2-3） ?n2l10l20y)(y?y)?nl(y?y)?0
nl21010202120即：
min(y,y)?12y0?max(y,y)
12 （2-4）
设 ：y?1y2，则：
y?y?y （2-5）
102不失一般性，如果y1?y2，由（2-2）式则y0?y1，y0?y2否则y1?y2。因此：
y1?y0?y 2?y1?y2? （2-6）
由（2-6）式可知，如果P，Q两点的连线与分界面不垂直，折射光线和入射光线分居在法线的两侧。如果y1?y2，由（2-5）式可得y0?y1?y2因此：
y0?y1?y 2 （2-7）
在图2-2中，分别过P，Q两点做垂直于OM的垂线，垂足分别为B，C，由于P，并且法线OM与z轴平行，所以y0?y1?PB，A0点都在yz平面上，y2?y0?CQ ，并且l10?PA0，l20?A0Q，把这些关系式代入（2-3）式 得到：
n1PBCQ （2-8） ?n2PA0A0Q由于sini1?PBCQ，sini2? ，可以得到下式： PA0A0Q- 5 -
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n1sini1?n2sini2 （2-9）
综合了（2-6）式和(2-9)式得出斯涅耳定律：折射光线、法线和入射光线在同一个平面上，折射光线和入射光线分居在法线的两侧，并且入射角和折射角的正弦之比为常量[3]（入射角不为0时）。
如果P，Q两点的连线与分界面垂直，由（2-7）式及P， A0 ，Q三点都在yz平面上，P，A0，Q三点共线，则(2-9)式也满足，这时折射角和入射角都为0，入射光线和折射光线垂直于分界面，折射光线、入射光线和法线都在同一直线上。
为了证明光线遵循折射定律所走路径的光程为极值还需要证明：
[fxy(0,y0)]2?fxy(0,y0)?fxy(0,y0)?0成立。
由于：fxx(x,y)?nl因此：
?111?n2l2?1?(n1l1?1?n2l2?1)?(n1l1?1?n2l2?1)?x ，fxy(x,y)?x
?x?yfxx(0,y0)?n1l10?1?n2l20?1?0 （2-10） fxy(0y （2-11） ,0?) 0fyy(x,y)?n1l1?1?n2l2?1?[n1l1?3(y?y1)?n2l2?3(y?y2)] （2-12）
根据前面l1，l2的定义，由于z1?0，z2?0，因此(y?y1)2?l12，(y?y2)2?l22，则：n1l1?3(y?y1)2?n2l2?3(y?y2)2?n1l1?1?n2l2?1 因此fyy(x,y)?0则：
fyy(0,y0)?0 （2-13）
根据（2-10）～（2-13）式得到：
[fxy(0,y0)]2?fxx(0,y0)?fyy(0,y0)?0 （2-14）
根据fxx(0,y0)?0可知，遵循折射定律的路径的光程的确为极小值。
2.4 反射定律的推导
对于反射定律的推导和折射定律的推导相似只是把折射定律中的折射率n1和n2都用n代替，折射角i2用反射角i1?代替，而P，Q两点在xy平面的同侧，（2-9）式变为：
i （2-15） nsini?nsi1?ni和i1?都小于90?，则有：
i?i1? （2-16）
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由此得到反射定律。
2.5 本章小结
利用费马原理，不须假设就能严格得推证反射与折射这两个实验定律，前提只是折射时折射光线、法线和入射光线在同一平面内；反射时反射光线、法线和入射光线在同一平面内。
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