绝密★启用前
2013年普通高等学校招生全国统一考试
理 科 数 学
(银川一中第三次模拟考试)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中第Ⅱ卷第22～24题为选考题，其它题为必考题。考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 注意事项：
1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，认真核对条形码上的姓名、准考证号，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置上。
2．选择题答案使用2B铅笔填涂,如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案的标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答,超出答题区域书写的答案无效。 4．保持卡面清洁，不折叠，不破损。
5．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑。 参考公式：
样本数据x21,x2,?x1n的标准差：s?n[(x1?x)?(x22?x)???(xn?x)2]
其中x为样本平均数
第I卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1. 已知全集U=R，设函数y=lg(x-1)的定义域为集合A，函数y=x2?2x?5的值域为
集合B，则A∩(CUB)= （ ）
A．[1,2] B．[1,2) C．(1,2] D．(1,2)
理科数学试卷 第1页(共5页)
2．已知sinθ=
45，且sinθ-cosθ>1，则sin2θ= （ ）
A． -
24 B．-1225 25 C．-
45 D．2425
3．已知等差数列{an}满足a1?a2?a3???a101?0,则有（ ）
A．a1?a101?0
B．a2?a100?0
C．a3?a99?0
D．a51?51
4．已知11a?b?0，则下列结论不正确的是（ ）
A．a2 C． abb?a?2 D．|a|+|b|>|a+b| 5. 下图给出了下一个算法流程图，该算法 ？ 流程图的功能是( ) A．求a,b,c三数的最大数 B．求a,b,c三数的最小数 ？ C．将a,b,c按从小到大排列 D．将a,b,c按从大到小排列 6. 已知函数f(x)???x?2(x?0),则f(5)?=（ ） ?f(x?3)(x?0) A．32 B．16 C． 112 D．32 7. 下列四个命题正确的是（ ） (x??)2①正态曲线 ?f(x)?1e2?2关于直线x=μ对称； 2??②正态分布N（μ，σ2）在区间（-∞，μ）内取值的概率小于0.5; ③服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量在（μ-3σ，μ+3σ）以外取值几乎不可能发生； ④当μ一定时，σ越小，曲线“矮胖” A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 8．在正方体ABCD--A1B1C1D1中,M,N分别为棱AA1和B1B的中点,若θ为直线CM与 D1N所成的角,则sin?= ( ) A． 19 B. 23 C. 259 D. 459 理科数学试卷 第2页(共5页) 9．函数y=sinxcosx+3cos2x?3的图象的一个对称中心是（ ） A5?32?3? (2?3,?32) B (6,?)2 C (?3,2) D (3,?3) 10．甲、乙两棉农，统计连续五年的面积产量(千克∕亩)如下表： 棉农甲 68 72 70 69 71 棉农乙 69 71 68 68 69 则平均产量较高与产量较稳定的分别是（ ） A．棉农甲，棉农甲 B．棉农甲，棉农乙 C．棉农乙，棉农甲 D．棉农乙，棉农乙 11. 已知函数f(x)?x2?4x?3，集合M???x,y?f(x)?f(y)?0?， 集合N???x,y?f(x)?f(y)?0?，则集合M?N的面积是（ ） A． ?4 B． ?2 C．? D．2? 12．设f(x)，g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x <0时， f'(x)g(x)?f(x)g'(x)?0，且f(?3)?0，则不等式f(x)g(x)?0的解集是( ） A．(－3，0)∪(3，+∞) B．(－3，0)∪(0，3) C．(－∞，－3)∪(3，+∞) D．(－∞，－3)∪(0，3) 第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13. 椭圆 x2y2k?8?9?1的离心率为 12，则k的值为________. x14. 已知函数f(x)?a?2?a?22x?1(x?R),是奇函数，则实数a的值________. 15. 已知边长分别为a、b、c的三角形ABC面积为S，内切圆O半径为r，连接OA、 OB、OC，则三角形OAB、OBC、OAC的面积分别为 12cr、 12ar、 12br，由 理科数学试卷 第3页(共5页) S= 1S，类比得若四面体的体积为V,四个面的面积分 2cr+ 12ar+ 12br得r= 2a?b?c别为A、B、C、D，则内切球的半径R=_____________. 16. 若数列数列{aa}满足1?annn?满足a1?2，an?1?1?a(n?N*)，则该数列的前 2013项的乘积______. n 三、解答题:本大题共5小题，共计70分。解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤 17. (本小题满分12分) D 如图，A、B是海面上位于东西方向相距5(3?3)海里 的两个观测点。现位于A点北偏东45°，B点北偏西60° 45° 60° A B 的D点有一艘轮船发出求救信号。位于B点南偏西60° 60° 且与B相距203海里的C点的救援船立即前往营救， 其航行速度为30海里/小时。求救援船直线到达D的 时间和航行方向。 C 18．(本小题满分12分) 已知函数 f(x)=x2?ax?b (1)若-2?a?4,?2?b?4，且a?Z,b?Z，求等式f(x)＞0的解集为R的概率 (2)若a?1,b?1，求方程f(x)=0两根都为负数的概率 19. (本小题满分12分) D 已知D、E分别在平面ABC的同侧，且DC⊥平面ABC， E EB⊥平面ABC，DC=2,ΔABC是边长为2的正三角形，F是 F AD中点. C B (1)当BE等于多少时，EF∥平面ABC； (2)当EF∥平面ABC时，求平面DAE和平面ABC所成的角. A 理科数学试卷 第4页(共5页) 20.(本小题满分12分) 曲线C上任一点到定点(0，18)的距离等于它到定直线y??18的距离. (1)求曲线C的方程； (2)经过P(1,2)作两条不与坐标轴垂直的直线l1、l2分别交曲线C于A、B两点，且 l1⊥l2，设M是AB中点，问是否存在一定点和一定直线，使得M到这个定点的距离 与它到定直线的距离相等.若存在，求出这个定点坐标和这条定直线的方程.若不存在，说明理由. 21.(本小题满分12分) (1)f(x)?ln(x?1)x(x?0),求证：若m?n?0,则f(m)?f(n). (2)求g(x)?lnx?ax2在[1,2]上的最大最小值。 请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑. 22.（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲． 如图：AD是ΔABC的角平分线，以AD为弦的 A 圆与BC相切于D点，与AB、AC交于E、F. E F 求证：AE·CF=BE·AF 23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程． B D C (1)求点M（2，?3）到直线ρ= 3sin??cos?上点A的距离的最小值。 (2)求曲线C:?x??1?cos??y?sin(?为参数)关于直线y=1对称的曲线的参数方程 ??24．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲． 已知：a?c b?c，求证： a?bc2?1?abc. 理科数学试卷 第5页(共5页) 银川一中2013届高三第三次模拟数学(理科)试题参考答案 一、选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D B C A D B B C D 二、填空题： 13． 4或?53V 16. 2 4 14. 1 15. A?B?C?D三、解答题： 17．解：AB=5(3?3)，∠D=105°，sinD=sin(60°+45°)= 6?2 4 由 DBsin45??AB sinD 得BD=103 在ΔDCB中，BC=203，∠DBC=60° CD=(203)2?(103)2?2?203?103?12?30 ∴救援船到达D的时间为 3030?1小时 由 BDCD得1sinDCB?sin60?sin?DCB?2 ∠DCB=30° ∴救援船的航行方向是北偏东30°的方向。 18．解析：（1）满足条件的不等式共有49个…………1分 不等式解集为R的条件是a2?4b＜0…………2分 a=-2时b=2，3，4 a=-1时b=1，2，3，4 a=0时b=1，2，3，4 a=1时b=1，2，3，4 a=2时b=2，3，4 a=3时b=3，4 所以满足等式f(x)＞0的解集为R的不等式有20个…………5分 故等式 f(x)＞0的解集为R的概率是 20…………6分 49(2)方程 f(x)?0两根都为负的条件是 b ?1?a2?4b?0?b?a2 ?1 ?b?0 即?4?b?0…………8分 ????a?0?a?0?-1 1 a -1 满足上述条件的区域A为如图阴影部分，其面积为： 1S2A??14ada?112…………10分 0 又满足?|a|?1??分 ?|b|?1的区域的面积S?=4…………11 ∴方程 f(x)?0的两根都为负的概率是P(A)= SA1 …………12分 s??4819．解：(1)取AC中点G，连接FG、BG，则FG∥DC∥BE 当BE=1时，有FG=BE，即BEFG为平行四边形 故当BE=1时，EF∥BG，即EF∥平面ABC ………5分 (2)取BC中点O，过O作OZ⊥平面ABC z 如图，建立平面直角坐标系，则 D A(3,0,0) B(0,1,0) E(0,1,1) D(0,-1,2) E 平面ABC的法向量为BE?(0,0,1) F 设平面ADE法向量为n?(x,y,z) C O B y AD?(?3,?1,2),DE?(0,1,?1) G 由???3x?y?2z?0，取z=2，则y=1,x= 3 A ?2y?z?0x ∴n?(3,1,2) ∴cos?BE,n??22,?BE,n??45? ∴平面DAE和平面ABC所成角为45°或135°. 20．解：(1)y=2x2 设l11：y-2=k(x-1)(k≠0) l1:y-2=?k(x?1) 由?y?kx?2?k?得2 ?y?2x22x-kx+k-2=0 2 A点坐标为(k?2(k?2,2)2) ?1k?2(?1?2)2 同理得B点坐标为(2,k2) ?41)?4 ∴??x?(k??k ?1?4y?k2??k?4(k?12k)?8消去k得：y=4x2 +4x+5 2 M轨迹是抛物线，故存在一定点和一定直线，使得M到定点的距离等于它到定直线的距离。将抛物线方程化为(x?1322)2?14(y?2)，此抛物线可看成是由抛物线x?14y左 移 1个单位，上移 3个单位得到的，而抛物线222x?1y的焦点为(0，1)，准线为y=-1.41616∴所求的定点为(?1,25)，定直线方程为y=23. 2161621. 解：(1)方法一：设B(m,ln(m+1)),A(n,ln(n+1))为函数y=ln(x+1)图象上两点 而f(m),f(n)分别B、A两点与原点连线的斜率， 显然kOA>kOB 即f(m) xx?1?ln(x?1)方法二：f'(x)?x2 令h(x)?xx?1?ln(x?1) h'(x)?11x(x?1)2?x?1??(x?1)2?0 ∴h(x)是减函数 由x>0得，h(x) 由m>n>0可得f(m) 令g'(x)?0得2ax2 =1 ……………① 当a≤0时，g'(x)?0，g(x)在[1,2]上为增函数 ∴最大值为g(2),最小值为g(1)] 当a>0时，由①得x?12a 若 1≥2即0 1时，0，2a8g'(x)≥g(x)在[1,2]上为增函数 ∴最大值为g(2),最小值为g(1) 若 1≤1即a≥ 1时，2a2g'(x)≤0，g(x)在[1,2]上为减函数 ∴最大值为g(1),最小值为g(2) 若1< 1<2即 1 1时 2a82g(x)在(1， 1)上为增函数，在( 1，2)上为减函数 2a2a∴最大值为g(1)??112a2ln2a?2 最小值为g(2)，g(1)中的较小的数 ∵g(2)-g(1)=ln2-3a 若a≤1ln2,则g(2)≥g(1) 3 若a>1ln2，则g(2) 3∴当 1 3 当1ln2 1时，最小值为g(2) 32综上得：a≤1时，最大值为ln2-4a，最小值为-a 8 1 1ln2 1时，最大值为32?12ln2a?12，最小值为ln-4a a≥ 1时，最大值为-a，最小值为ln2-4a. 222.解：连结ED ∵圆与BC切于D，∴∠BDE=∠BAD ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠DAC 又∠DAC=∠DEF ∴∠BDE=∠DEF ∴EF//BC ∴AEBE?AFCF即AE〃CF=BE〃AF 23.（1）解：M点的直角坐标为（1， 3）………………………2分 直线的直角坐标方程为：x + y -3=0………………………4分 点M（1，3）到直线x + y -3=0上点A的距离的最小值为d 1?3?3则d??222 点M（2， ?323）到直线ρ= sin??cos?上点A的距离的最小值为 2……………6分 （2）?1?cos???x?y?2?sin?(?为参数)(写对一个给满分)………………………10分 24．证明：要使原不等式成立，只要：??a?b?212??3分 ?c?ab?c2……………………… 只要：(a2?2ab?b2)c2?c4?2abc2?a2b2………………………6分 只要：(a2?c2)(c2?b2)?0 由已知此不等式成立。………………………10分