第1章 （之1）
第1次作业
教学内容: §1.1 实数集 区间 §1. 2 函数的概念 §1.3 初等函数
1.选择题:
*（1）f(x)?(cos3x)2在其定义域(??，??)上是 ( )
(A)最小正周期为(C)最小正周期为3?的周期函数； (B)最小正周期为2?3的周期函数； (D)非周期函数. 答（ B ）?3的周期函数；
(A)在(??，??)单调减；(C)在(??，0)内单调增，而在(D)在(??，0)内单调减，而在(B)在(??，??)单调增；(0，??)内单调减；(0，??)内单调增.**（2） 设f(x)?xx，(??，??)，则f(x) ( )
答（ B ）
的是 ( ) **（3）下列函数中为非偶函数(A)y?sinx?(C)y?22?12?1xx； x?3x?4；2 (B)y?arccosx；(D)y?x2
lg(x?1?x).2x?3x?4?1?x 答（ B ）
**2.设一球的半径为r，作外切于球的圆锥，试将圆锥体积V表示为高h的函数，并指出其定义域。
ADr?解：如图，因?AOD～?ABC?， ACR故R?rh(h?r)2?r22， ，
体积V?? rh3 [(h?r)23?r]2(2r?h???).
**3.设对一切不等于0及?1的实数x恒有
1
2f(x)?xf()?x21x?2xx?12，
（1）证明f(x)?2xf()?x解：（1）以
11212x?xx?122；（2）求f(x). x?2xx?122代入式2f(x)?xf()?xx12x?11中的x，可得 2x?xx?122f()?2f(x)?,?2xf()?f(x)?xx(x?1)xx1,
（2）在上式与所给之式中消去f()得:
x1 3f(x)?2x2?4x?2xx?12?x?3xx?1
就可以得到 f(x)?
***4.设函数
xx?1.
1??x?,x??1 f?x??? x?x,x??1?x?1??x,?和 g?x??? 1x?,x?1?x? 求F?x??f?x?g?x? 的表达式，并求 F?0? 及 F?2?. 解：
1??x??时，F?x??g?x??f?x????x???x????x2?1；
x???1?x?1 时，F?x??f?x??g?x??x???x???x2；
1??x?1 时，F?x??f?x??g?x??x??x???x2?1，
x????x2?1,x??1,?2?F?x????x,?1?x?1, ?F?0??0，F?2??22?1?5.
?2x?1,?x?1,
x***5.设x?0时，f?x??2?x?1.
?1?若f?x?是???,???上的奇函数，试写出x?0时，f?x?的表达式； ?2?若f?x?是???,???上的偶函数，试写出x?0时，f?x?的表达式. 解：?1? x?0， 则 ?x?0， ?12xf??x??2?x???x??1，
?f?x?是奇函数，?f??x???f?x?， ?f?x???f(?x)??
?x?1 ?x?0?.
?2? x?0，则 ?x?0，
2
?f??x??2?x???x??1 ， ?f?x?是偶函数，?f??x??f?x?， ?f?x??
**6.?1? 设函数f?x?在??l,l?上有定义，试证明??x??数，而??x??f?x??f??x?2f?x??f??x?212x?x?1 ?x?0?.
是??l,l?上的偶函
是??l,l?上的奇函数；
?2? 试证明在区间??l,l?上有定义的函数f?x?，总能分解为一个奇函数与一个偶函数的和；
?3? 试将函数f?x??31?x表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
f?x??f??x?解：?1? 对于??x??，
显然有???x??2f??x??f?x?222???x?，所以??x?是??l,l?上的偶函数。
而对于??x??显然有???x??
?2?因为f?x???(x)?f?x??f??x?，
f??x??f?x?????x?，所以 ??x?是??l,l?上的奇函数.
f?x??f??x?f?x??f??x?2f?x??f??x?2和?(x)?2f?x??f??x?2?，而由?1?知
分别为??l,l?上的偶函数和奇函数，
这样就证明了所需证之结论.
?3?31?x?f?x??3f?x??f??x?23?3f?x??f??x?2 .
?
**7.求函数y?1?x?21?x?1?x?231?xx?1(x??1)的反函数，并指出反函2数的定义域。
解：当x??1时，0?y???，由故所求的反函数为 y?2x?1 得 x??2y?1，
2?(x)??x?1(0?x???).
**8.已知f(x)是二次多项式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求f(x). 解：设f(x)?ax
2?bx?c, 因为f(0)?0， 所以c?0,
22而f(x?1)?f(x)?a(x?1)?b(x?1)?(ax?bx)
?2ax?a?b
3
据题意有 2ax?a?b?8x?3, 故??f(x)?4x2?2a?8,?a?4, 解得??a?b?3,?b??1,
?x.
*9.求常数a,b,c，使解:
ax?bx?1?c(x?1)2x?3x(x?1)2?ax?bx?1?c(x?1)2.
?a(x?1)?bx(x?1)?cxx(x?1)22?(a?b)x?(c?2a?b)x?ax(x?1)22比较系数可知有 a?b?0,c?2a?b?1,a?3.
解得 a?3,b??3,c?4.
**10.根据下列给定的表达式，求fn?x??f?f??f?x???（n重复合）的表达式： ?1?f?x??1?x2x2 ； ?2?f?x??x1?x2?x?0?.
解：?1? f?x??1?，
1?x?1x?1???1??2， 2?2?221?1x?11x， 1???1????2?232?22?22212122 n?2时，f?f?x???1? n?3时，f?f?f?x????1? ??， ?
fn?x??f?f??f?x????1?????12n?1?x2n?2?12n?1?x2n.
?2? f?x??x1?x2，
x n?2时，f?f?x???1?x1?x222?x1?2x2，
n?3时，f?f?f?x????用数学归纳法可得fn?x??
1?xx1?3xx2， .
1?nx24
?1?x?0；?0， ?0?x?1；***11.设f(x)??x， ?2?x， 1?x?2．?F(x)?f(1?2x)，
(1)求F(x)的表达式和定义域；(2)画出F(x)的图形.
1?1?2x，??x?0；?2?1??1?解：(1)F(x)??1?2x，1?. 0?x?； F(x)的定义域为??，22???1?0， ?x?1．?2?
(2)
***12.设 f?sin??x?x????cos?17x?，求 f?cos?. 2?2??解：f?cos??x???x????f?sin??cos17???x???cos17x. 2?2??
***13.若f?x?,g?x?,h?x? 都是单调增加函数，且对一切 x 都有 f?x??g?x??h?x?，试证明 f?f?x???g?g?x???h?h?x??。
证明：?f?x??g?x?， ?g?f?x???g?g?x??，
由于对一切 x 都有 f?x??g?x? 可知： f?f?x???g?f?x??， ?f?f?x???g?g?x??。
同理，g?g?x???h?h?x??， ?f?f?x???g?g?x???h?h?x??.
***14.设函数f(x)对任意实数x、y满足关系式： f(x?y)?f(x)?f(y)
(1)求f(0)；(2)判定函数f(x)的奇偶性。
解： (1)取x?y?0时，有(2)取y??x，有即f(0)?f(0)?f(0)，故f(0)?0.
f(0)?f(x)?f(?x)，于是f(x)?f(?x)?0，f(?x)??f(x)，x?(??，??)，因此f(x)是奇函数.
5