逐步回归法计算的例子和结果
例１ 某种水泥在凝固时放出的热量
: : : :
的成分(%), 的成分(%),
的成分(%),
的成分(%)。
与
、
、
及
的线性回归模型。
(卡/克)与水泥中下列四种化学成分有关:
所测定数据如表１所示, 试建立
表１
试验序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7 1 11 11 7 11 3 1 2 21 1 11 10 26 29 56 31 52 55 71 31 54 47 40 66 68 6 15 8 8 6 9 17 22 18 4 23 9 8 60 52 20 47 33 22 6 44 22 26 34 12 12 78.5 74.3 104.3 87.6 95.9 109.2 102.7 72.5 93.1 115.9 83.8 113.3 109.4 注: 本例子引自 中国科学院数学研究室数理统计组编,《回归分析方法》, 科学出版社, 1974年
本软件给出的回归分析有关的结果如下(与回归分析无关的内容未列出):
指标 名称: 热量 单位: 卡/克 因素１名称: 3CaO.Al2O3含量 单位: % 因素２名称: 3CaO.SiO2含量 单位: % 因素３名称: 4CaO.Al2O3.Fe2O3含量 单位: % 因素４名称: 2CaO.SiO2含量 单位: %
------------------- 多 元 回 归 分 析 -------------------
回归分析采用逐步回归法, 显著性水平α＝0.10 引入变量的临界值Ｆa＝3.280 剔除变量的临界值Ｆe＝3.280
拟建立回归方程:
ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2) + b(3)*Ｘ(3) + b(4)*Ｘ(4)
第１步, 引入变量: 各项的判别值(升序排列): Ｖx(3)＝ 0.286 Ｖx(1)＝ 0.534 Ｖx(2)＝ 0.666 Ｖx(4)＝ 0.675
未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大, 引入检验值Ｆa(4)＝22.80, 引入临界值Ｆa＝3.280, Ｆa(4)＞Ｆa, 引入第４项, 已引入项数＝１。
第２步, 引入变量: 各项的判别值(升序排列): Ｖx(4)＝-0.675 Ｖx(2)＝ 5.52e-3 Ｖx(3)＝ 0.261 Ｖx(1)＝ 0.298
未引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大, 引入检验值Ｆa(1)＝108.2, 引入临界值Ｆa＝3.280, Ｆa(1)＞Ｆa, 引入第１项, 已引入项数＝２。
第３步, 引入变量: 各项的判别值(升序排列): Ｖx(4)＝-0.439 Ｖx(1)＝-0.298 Ｖx(3)＝ 8.81e-3 Ｖx(2)＝ 9.86e-3
未引入项中, 第２项[Ｘ(2)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大, 引入检验值Ｆa(2)＝5.026, 引入临界值Ｆa＝3.280, Ｆa(2)＞Ｆa, 引入第２项, 已引入项数＝３。
第４步, 剔除或引入变量: 各项的判别值(升序排列): Ｖx(1)＝-0.302 Ｖx(2)＝-9.86e-3 Ｖx(4)＝-3.66e-3 Ｖx(3)＝ 4.02e-5
已引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小, 未引入项中, 第３项[Ｘ(3)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大, 剔除检验值Ｆe(4)＝1.863, 剔除临界值Ｆe＝3.280, Ｆe(4)≤Ｆe, 剔除第４项, 已引入项数＝２。
第５步, 剔除或引入变量: 各项的判别值(升序排列): Ｖx(2)＝-0.445 Ｖx(1)＝-0.312 Ｖx(3)＝ 3.61e-3 Ｖx(4)＝ 3.66e-3
已引入项中, 第１项[Ｘ(1)]Ｖx值（＜0）的绝对值最小, 未引入项中, 第４项[Ｘ(4)]Ｖx值（≥0）的绝对值最大, 剔除检验值Ｆe(1)＝146.5, 剔除临界值Ｆe＝3.280, Ｆe(1)＞Ｆe, 不能剔除第１项。
引入检验值Ｆa(4)＝1.863, 引入临界值Ｆa＝3.280, Ｆa(4)≤Ｆa, 不能引入第４项, 已引入项数＝２。
变量筛选结果:
检验项数＝４, 预期引入项数＝３, 实际引入项数＝２, 实际引入项数≠预期引入项数
回归方程:
ｙ = b(0) + b(1)*Ｘ(1) + b(2)*Ｘ(2)
回归系数 b(i): b(0)＝ 52.6 b(1)＝ 1.47 b(2)＝ 0.662
标准回归系数 B(i): B(1)＝ 0.574 B(2)＝ 0.685
复相关系数 Ｒ＝0.9893 决定系数 Ｒ^2＝0.9787 修正的决定系数 Ｒ^2a＝0.9767
变量分析:
变 量 分 析 表 变异来源 回 归 剩 余 总 和 平 方 和 Ｕ＝2.66e+3 Ｑ＝57.9 Ｌ＝2.72e+3 自 由 度 Ｋ＝2 Ｎ－１－Ｋ＝10 Ｎ－１＝12 均 方 Ｕ/Ｋ＝1.33e+3 Ｑ/(Ｎ－１－Ｋ)＝5.79 均 方 比 Ｆ＝229.5 样本容量Ｎ＝13, 显著性水平α＝0.10, 检验值Ｆt＝229.5, 临界值Ｆ(0.10,2,10)＝2.924 剩余标准差 ｓ＝2.41
回归系数检验值: ｔ检验值(df＝10): ｔ(1)＝ 12.10 ｔ(2)＝ 14.44
Ｆ检验值(df1＝1, df2＝10): Ｆ(1)＝ 146.5 Ｆ(2)＝ 208.6
偏回归平方和 U(i): U(1)＝848 U(2)＝1.21e+3
偏相关系数 ρ(i): ρ1,2＝ 0.9675 ρ2,1＝ 0.9769
各方程项对回归的贡献(按偏回归平方和降序排列): U(2)＝1.21e+3, U(2)/U＝45.4% U(1)＝848, U(1)/U＝31.9%
残差分析:
残 差 分 析 表 № 观 测 值 １ 78.5 ２ 74.3 ３ 104 ４ 87.6 ５ 95.9 ６ 109 ７ 103 ８ 72.5 ９ 93.1 10 116 11 83.8 12 113 13 109
------------------ 回 归 分 析 结 束 ------------------
回 归 值 80.1 73.3 106 89.3 97.3 105 104 74.6 91.3 115 80.5 112 112 观测值－回归值 -1.60 1.00 -2.00 -1.70 -1.40 4.00 -1.00 -2.10 1.80 1.00 3.30 1.00 -3.00 (回归值－观测值)/观测值×100(%) 2.04 -1.35 1.92 1.94 1.46 -3.67 0.971 2.90 -1.93 -0.862 -3.94 -0.885 2.75
逐步回归法计算得到的优化的回归方程为 显著。
, 在显著性水平为α＝0.10上
双重筛选逐步回归法计算的例子和结果
例１ 为了分析某地区自然经济条件对森林覆盖面积消长的影响而抽取12个村作为样本, 共测了12个因子, 各因子数据列于表１。
表１
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 74.3 70.4 78.7 78.9 49.1 57.6 53.1 70.1 86.6 82.2 76.8 88.9 91.0 157.0 77.0 67.0 91.0 219.0 221.0 123.0 45.0 81.0 90.0 83.0 其中:
5.76 8.04 7.94 6.86 4.92 5.56 7.42 5.38 12.54 13.24 10.70 1.98 1.3 2.2 2.0 1.5 1.5 2.5 3.9 3.1 1.2 1.6 1.5 1.8 108 126 114 110 92 91 90 123 105 131 131 107 66 68 63 55 49 48 45 59 57 61 69 65 17.4 17.2 17.0 17.0 16.5 16.8 16.8 17.0 14.8 15.9 15.8 14.5 51.2 52.5 62.9 64.3 39.3 37.3 30.0 47.8 69.0 62.3 67.6 79.3 9.5 24.2 22.8 25.1 10.7 37.3 27.0 34.6 37.3 16.5 22.2 42.1 15.39 10.84 13.57 34.57 7.41 9.12 8.64 81.64 23.95 33.60 8.93 58.97 12.6 8.4 9.8 14.0 5.6 2.8 2.8 11.2 11.2 16.8 9.8 3.5 1 0 0 3 2 0 4 5 0 0 0 0 : 山地比例(%); : 人口密度(人/
);
: 人均收入增长率(元/年); : 公路密度(100m/ha); : 前汛期降水量(cm/年); : 后汛期降水量(cm/年); : 月平均最低温度(℃); : 森林覆盖率(%);