第二章 习题解答
1、证明P0?E?的充要条件是对任意含有P0的邻域U(P，?)（不一定以P096 为中心）中，恒有异于。而P的点P属于E（事实上，这样的P还有无穷多个）
011P0?E的充要条件则是有含P0的邻域U(P，?)（同样，不一定以P0为中心）存在，使U(P，?)?E。
证明：（1）充分性，用反证法，若P0?E?，则P0的某一邻域U(P0，?0)中至多有有限个异于P0的点X1，X2，…，Xn属于E，令mind(P0，xi)=??，1?i?n在U(P0，??)中不含异于P0的点属于E，这与条件矛盾。
E)0，则U(P0，?1)?U(P，?)。因为P0?E?，所以，在U(P0，?1)中含于
0无穷多个属于E的点，其中必有异于P0的点P1，即U(P，?)中有异于
P097
的点P1 。
（2）必要性是显然的，下面证明充分性，设含有P0的邻域U(P，?)?E，则d(P0，P)
?1)?E，故P0?E 。
2、设R=R?是全体实数，E1是[0，1]上的全部有理点，求E1?，E1，E1 。 解：E1?=[0，1]，E1=?，E1=[0，1] 。
0n00?，E2，3、设R=R是普通的xoy平面，E2={(x，y)|x+y<1}，求E2n2220E2 。
?={(x，y)|x2+y2≤1}， 解：E2E2={(x，y)|x2+y2<1}，
0E2={(x，y)|x2+y2≤1}。
?1?sin4、设Rn=R2是普通的xoy平面，E3是函数y=?x??0当x?0当x?0的图形上
?，E3 。 的点作成的集合，求E3?={(x，y)|x≠0，y=sin解：E398 0E3=?
201x}?{(0，y)|-1≤y≤1}
5、在R中看第2题的E1?，E1，E1各是由哪些点构成的。 解：E1?={(x，0)|0≤x≤1}
E1=?
00E1=E1?
6、证明点集F为闭集的充要条件是F＝F 。
证明：充分性，若F＝F，则F?F?＝F，故F??F，即F为闭集。 必要性，若F为闭集，则F??F，所以F??F＝F，即F＝F 。 7、证明开集减闭集后的差集仍是开集，闭集减开集后的差集仍是闭集。 证明：设G是一开集，F是一闭集，则CG是闭集，CF是开集，所以G－F＝G?CF是开集，F－G＝F?CG是闭集。
8、设f(x)是（－∞，＋∞）上的实值连续函数，则对于任何常数a，E＝
99 {x|f(x)>a}是开集，而E1＝{x|f(x)≥a}是闭集。
证明：若E＝{x|f(x)>a}＝?，则E是开集，若E≠?，?x0?E，有
?)时，因为f(x)在x0连续，所以??>0，当x?U(x0，有f(x)>a，f(x0)>a，
即U(x0，?)?E，所以x0是E的内点，故E是开集。同理可证{x|f(x)
9、证明每个闭集必是可数个开集的交集，每个开集可以表示成可数个闭集的和集。
证明：设F为闭集，令Gn＝{x|d (x，F) ?x0?Gn，有d(x0，F) y?F11111y0)＝? y?F11y0) 以下证明F＝?Gn。显然F?Gn(n＝1，2，…)，所以F??Gn。 n?1n?1????x??Gn，有x?Gn(n＝1，2，…)、d(x，F) n?11＝0，所以x?F或x?F?。因为F是闭集。所以F??F，故x?F。于是 ??n?1?Gn?F，所以F＝?Gn 。 n?1?设G为开集，则CG为闭集，所以存在开集101 使CG＝?Gn，而G＝C(CG)Gn，n?1??＝C(?Gn)＝?CGn，CGn为闭集，即G可表示为可数个闭集的和集。 n?1n?110、证明用十进位小数表示[0，1]中的数时，用不着数字7的一切数成一完备集。 证明：在[0，1]中，第一位小数用到数字7的小数是(0.7，0.8)，第二位小 数用到7的小数是(0.07，0.08)，(0.17，0.18)，…，(0.97，0.98)，…。第n位小数用到数字7的小数是(0.a1a2…an?17，0.a1a2…an?18)（其中a1，a2，an?1?是0，1，2，…，9取完各种可能的n－1个数）记这些开区间的全体为?An， n?1?设[0，1]上不用数字7表示的小数的全体为E，则E＝C[(?An)∪(－∞，0)102 n?1∪(1，＋∞)]而An，(－∞，0)，(1，＋∞)是可数个互不相交且无公共端点的 开区间，所以E是完备集。 11、证明f(x)为[a，b]上连续函数的充分必要条件是对任意实数C，集E＝{x|f(x)≥C}，与E1＝{x|f(x)≤C}都是闭集。 证明：若f(x)为[a，b]上的连续函数，用与第8题相同的方法可证明E和 E1都是闭集。 im设E、E1为闭集，若f(x)在x0点不连续，则?xn，使xn→x0，而ln??f(xn) 103 ≠f(x0)，因而，2，…)即f(xnk)xnk使|f(xnk)－f(x0)|≥?0(k＝1，??0>0， ≥f(x0)＋?0或f(xnk)≤f(x0)－?0，若f(xnk)≥f(x0)＋?0，令C＝ f(xnk)＋?0，则xnk?E＝{x|f(x)≥C}，因为xnk→x0，所以x0?E?，而 f(x0) －?0，则可导出与E1为闭集矛盾。 12、证明§2定理5 。 定理5：设E≠?，E≠Rn，则E至少有一界点（即?E≠?）。 证明：因为E≠?，E≠Rn，所以存在P0?E，P设P0＝(a1，a2，…，1?E， 104 Pan)，1＝(b1，b2，…，bn)，令Pt＝(tb1＋(1－t)a1，tb2＋(1－t)a2，…， tbn＋(1－t)an)(0≤t≤1)，t0＝sup{t|Pt?E}。以下证明Pt0??E 。 （1）若Pt0?E，则t0≠1（否则Pt0＝P1?E）当t?[0，1]，满足t0 （2）若Pt0?E，则t0≠0，存在tn，0 Pt0??E 。