第四届全国中学生数理化学科能力展示活动
八年级数学解题技能展示试题详解
一、选择题（每题6分，共36分，每题只有1个选项是正确的）
1、由于金融危机的影响，欧盟2010出境旅游人数较上一年减少了25%。如果希望2011年欧盟出境旅游人数达到2009年的水平，那么2011年将比上一年增长（ C ） A 30% B 25% C 35% D 1/3 解：1÷75%=1.333
2、某校为新生开设两门体育选修课：武术与篮球，每位学生要么选修篮球，要么选修武术，要么两者都选。按照往年经验，选修篮球的人数占总人数的85%~90%，选修武术的人数占总人数的30%~40%，今年该校新生共有200人，按照以上数据计算，今年新生同时选修武术和篮球的人数范围为（ C ）
A、30~40 B 28~46 C 30~60 D 40~60
解：同时选修武术和篮球的人数=选修篮球的人数+选修武术的人数－总人数
因此同时选修武术和篮球的人数最多占总人数的（90%+40%）-100%=30%，最少占总人数的（85%+30%）-100%=15%，因为总人数为200，所以今年新生同时选修武术和篮球的人数范围为30~60.
3、假设动物园世界中狐狸只讲假话，绵羊只讲真话，4只动物A、B、C、D中有狐狸，也有绵羊，A说：“D和我不是同一种动物。”B说：“C是绵羊。”，C说：“B是绵羊。”，D说 ：“我们4位中，至少有2只绵羊。”据此可以推断4只动物有（ A ）只狐狸。 A 1 B ２ C ３ D ４ 解：(1) A说：“D和我不是同一种动物。”，所以不论A是绵羊（真话），还是狐狸（假话），那么D一定是狐狸。 （2）从而Ｄ说：“我们４位中，至少有２只绵羊．”是假话，所以至多有一只绵羊。因为4只动物A、B、C、D中有狐狸，也有绵羊，所以B|、C是狐狸，A是绵羊。
4、熊猫阿宝要过生日了，朋友们准备动手给它制作一个圆锥形的生日礼帽：首先要从一张长290，宽250的长方形彩纸上裁出一个扇形，其次将这个扇形围成无底的圆锥形，但是，这个礼帽的底面直径不得小于100，否则阿宝戴不下，那么这个礼帽最高为（ ）。 A 100 B 200 C 1003 D 1006
B
5、如右图，给定线段AB、直线l；在直线l上取一点，使得
A △ABC为等腰三角形，那么满足条件的点C最多有（ C ）
l A 2 B 4 C 5 D 7
解：分别以A、B为圆心，以AB为半径画弧，与L有4个交点；作AB的中垂线与L有1个交点。
6、What is the remainder when 3?3?3?...?3A 0 B 1 C 3 D 5 解：求3?3?3?...?301220120122012 is divided by 8 ? ( B )
除以8的余数?
因为32=8+1,34=80+1,所以3的奇数次幂除以8余3,3的偶数次幂除以9余1. （1+3+1+3）+1+3+…，每4个的和是8的倍数。（2012+1）÷4余1，
1
所以3?3?3?...?30122012除以8的余数是1.
二、填空题（每题8分，共48分） 7、若a、b、c为三角形三边长，则
（a?b?c)2?(a?b?c)2?(b?c?a)2?(c?a?b)2= 0 。
2222解：（a?b?c)?(a?b?c)?(b?c?a)?(c?a?b)
=（a+b+c）-(b+c-a)-(c+a-b)-(a+b-c)=0
国药准字□□□□□□ 0.1×24粒
8、某种药品的说明书上，贴有如图所示的标签，
用法用量：口服，每天300~800mg ，
那么，每次服用这种药品的最大粒数为 4
分2~3次服用。
粒。
解：800mg=0.8g A D 0.8/2=0.4g=4粒
9、如右图，△ABC中，∠A=120°，AB=AC，AC的中垂
C E 线分别交AC、BC于点D、E，若DE=5，则BC= 30 . B
10、三颗行星围绕同一颗恒星同方向公转，它们的轨迹都在同一个平面上，是以恒星为圆心的圆周，其公转周期分别为60、84、140年，现在这些行星和恒星在同一条直线上，它们下一次共线在 105 年后。
解：三颗行星每年扫过的角度分别为：360/60、360/84、360/140， 360360
因为：180÷（ - ）=105;
6084360360105
180÷( - )= ；
601402360360
180÷（ - ）=105.
84140
所以下一次共线在105年后.
D A B C11、如右图，分别过C、D作CD的垂线BC、DE、
BE与CD交于点A，若AB＝２CE，∠B＝２６°，则∠DEC的度数为____78°_____。 解：取AB中点F，连接CF。
因为 CF是直角三角形ABC斜边AB上的中线，所以CF=1/2AB=CE=BF
所以∠BEC=∠EFC=2∠B=5２°，∠DEC=２６°+52°=78°
2
E
13
12、[x]表示不大于x的最大整数，方程[2x+1]+[3x+8]=7x+3/2的最小正数解为__2 ______。
143
解：原式可化为：?2x? + 1 + ?3x? + 8 = 7x+
2 ?2x? + ?3x? +
15
= 7x 2
15
= 7?x?+7a 2
令x??x??a?0?a?1?，2?x? + 3?x?+ ?2a? + ?3a? + 即：?2a? + ?3a? + 分段讨论：
115
（1） 当0≤a＜ 时，?2a? = ?3a?=0, =2?x?+7a
23
15
=2?x?+7a 2
7333
因为?x?为整数，0≤7a＜ ，所以?x?=3,7a= ,a= ,x=3 .
2141431115
（2）当 ≤a＜ 时，?2a? = 0，?3a?=1, 1+ =2?x?+7a
322
77555因为?x?为整数， ≤7a＜ ，所以?x?=3,7a= ,a= ,x=3 .
3214143
2115
（3）当 ≤a＜ 时，?2a? = 1，?3a?=1, 2+ =2?x?+7a
223
147711因为?x?为整数， ≤7a＜ ，所以?x?=3,7a= ,a= ,x=3 .
22223
215
（4）当 ≤a＜1时，?2a? = 1，?3a?=2, 3+ =2?x?+7a
32
14131313因为?x?为整数， ≤7a＜7，所以?x?=2,7a= ,a= ,x=2 .
321414
13
x=2 是最小正数解。
14
三、解答题（每题12分，共计36分）
13、一般情况下，人的身高是指距（拇指与小指的最大距离）的一次函数。罗宾逊的身高是1.74米 ，指距为22厘米。乔丹身高为1.98米，指距为24厘米。请据此推算，当姚明身高为2.22米时的指距。
解：设人的身高为y厘米,指距（拇指与小指的最大距离）为x厘米，y=kx+b 则174=22k+b, 198=24k+b 解之得：k=12,b=－90
当y=222时，x=(222+90)÷12=26
14、如右图，边长为1的正方形ABCD中，E是BC的中点，EF=AF=DF，求EF的长度。
3
解：过F作AD垂线，垂足为Ｇ，则 A
A AG=1
2 ,FG=1-x,AF=x,
F E
所以有（1
2 ）2+（1-x）2=x2
解之得：x=5D C
8 15、若x?x2?1?1x?x2?1?10，求x2?x4?1?1x2?x4?1的值。
解：∵ （x?x2?1）（x?x2?1）=1
∴ 2（x?x2?1）=10
x?x2?1=5
x2?1=5-x
x2-1=25-10x+x2
∴ x=
135 x2?x4?1?1x2?x4?1=x2?x4?1+
x2?x4?1=2x2
=2(
132
5) =33825 4