07-08-2高数（AB）期末试卷A参考答案08.1.15 一.填空题（本题共9小题，每小题4分，满分36分） 1．lime?xx?012?x?1x2?e；
sin1x2．设y?xsin1x，则dy?x111?1?sin?cos?lnx??dx； 2xxx?x?3．已知f?(3)?2，则limh?0f(3?h)?f(3)??1；
sin2h4．对数螺线??e在????2?对应的点处的切线方程是x?y?e2；
??y2x5??t?x?5．设y?y(x)?是由方程?edt??cost2dt?0确定的隐函数，则??2002????3???5??3??,,，单调减少区间是； y(x)的单调增加区间是?????2???2?2???26．曲线y?xe?2x的拐点坐标是1,e??2?，渐进线方程是y?0；
7．lim?8．
?nn3??n?； ?????222?n??n2?3n?12n?3n?9?????1?cos2x?cosx2sin3xdx?42；
?9．二阶常系数线性非齐次微分方程y???y?2sinx的特解形式为
y*?Axcosx?Bxsinx.
二.计算下列积分（本题共3小题，每小题7分，满分21分） 10. 解
20?0x22x?x2dx
20?202x22x?x2dx??(x?1?1)21?(x?1)2dx
2222200??(x?1)1?(x?1)dx?2?(x?1)1?(x?1)dx???2?t21?t2dt?0?011?(x?1)2dx
?2 （x?1?t,t?sin?,dt?cos?d?）
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?1?5??2?2sin?cos?d????2(1?cos4?)d???
00242822??11．arctan1???xdx
?解 arctan1???xdx?xarctan1?x???xdx， ?1?22?2x?x1xt2令x?t,dx?2tdt，?dx??dt?x?ln(x?2x?2)?C1，
22?2x?x2?2t?t22（1+3分）原式?xarctan1?12。解
?x?x?lnx?2x?2?C
???????2e?xcosxdx
I???ecosxdx?esinx2???x?x??2???esinxdx??e2???x??2?ecosx?x??21???II??e2
2?1x2e,x??x?0x?0?xe,?2三（13）．（本题满分8分）设f(x)??，F(x)????
1x?0??x2,?x,x?0??22（1）问F(x)是否为f(x)在(??,??)内的一个原函数？为什么？（2）求解 （1）F(x)不是f(x)在(??,??)内的一个原函数，因为F(0)??f(x)dx??
1?F(0?0)?0， 2F(x)在(??,??)内不连续.
?1x2e?C,x?0??2（2）?f(x)dx??
???11?x2??C,x?0??22共 4 页 第 2 页
sin(xt)f(x)dtlim，求. ?x2tx?0x2x2sinu?x3uduf(x)2sinx2?3sinx3解 令xt?u，lim2?lim?lim?1 22x?0xx?0x?0x2x四（14）．（本题满分7分）设f(x)?x五（15）．（本题满分6分）求微分方程(ycosx?sin2x)dx?dy?0的通解. 解
dy?ycosx?2sinxcosx，（1分） dxcosxdxy?e??C?2sinxcosxe??cosxdxdx??esinxC?2sinxde?sinx ??????
???Cesinx?2(1?sinx)六（16）．（本题满分8分）设f(x)、g(x)满足f?(x)?g(x),g?(x)?2ex?f(x)，且
??g(x)f(x)?f(0)?0,g(0)?2，求???dx. 2?01?x(1?x)??解 由已知条件得f??(x)?f(x)?2e，f(x)?sinx?cosx?e，
xx??0?g(x)??g(x)f(x)?1 ?dx?dx?f(x)d?2???01?x01?x(1?x)1?x??f(x)?1?x?0???0?f?(x)g(x)f(?)1?e?dx??dx??
01?x1?x1??1??七（17）．（本题满分8分）?设直线y?ax(0?a?1)与抛物线y?x所围成的图形面积为S1，它们与直线x?1所围成的图形面积为S2?（1）试确定a的值，使S1?S2达到最小，并求出最小值?（2）求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积??解 (1)S(a)?S1(a)?S2(a)?2? a 0(ax?x)dx??(x2?ax)dx
a2 1?ax2x3?a?x3ax2?1a3a1????0????a???
2332323????11?1??0，得a?，又S?????2?0，则?22?2?令S?(a)?a?2共 4 页 第 3 页
1112?2?1?是唯一的极小值即最小值?? S??????6?2?62223 12 1?12??124?4x?xdx??x?x?dx?1???? 22???2?121（2）Vx??? 0????1315?x?x?5??601??1???x5?x3?6??512?
2?1?? 301. x八（18）．（本题满分6分）设f(x)?证 令u?t,dt?2?x?1xsint2dt，求证：当x?0时，f(x)?12udu，
(x?1)2x21(x?1)2sinu1?cosuf(x)??2du???2x2?uu1(x?1)2cosu???2du?
32xu?1?cosx2cos(x?1)2?1(x?1)2cosu???du ??32?xx?1?4?x2u1?11?1(x?1)211?11?1?11?1f(x)????du?????????? 32?xx?1?4?x22xx?12xx?1????xu
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