§7.4 曲面积分 （数学一）
（甲）内容要点
一、第一类曲面积分（对面积的曲面积分） 基本计算公式
设曲面S的方程 z?z?x,y?,?x,y??D
f?x,y,z?在
2z?x,y?在
D上有连续偏导数，
2S上连续，则
??f?x,y,z?ds???SD??z???z?f?x,y,zx,y1?????????dxdy ????x???y?这样把第一类曲面积分化为二重积分进行计算
二、第二类曲面积分（对坐标的曲面积分） 基本计算公式
如果曲面S的方程 z?z?x,y?,??Pdydz?Qdzdx?Rdxdy
S?x,y??Dxy
Z?x,y?在Dxy上连续，R?x,y,z?在S上连续，则
?x,y,z?x,y???dxdy ??R?x,y,z?dxdy????R?SDxy若曲面S指定一侧的法向量与Z轴正向成锐角取正号，成钝角取负号，这样把这部分曲面积
分化为xy平面上的二重积分，其它两部分类似地处理。
三、两类曲面积分之间的关系
??pdydz?Qdzdx?Rdxdy????pcos??Qcos??Rcos??dS
SS其中cos?,cos?,cos?为曲面S在点?x,y,z?处根据定向指定一侧的法向量的三个方向余弦
?????令F??P,Q,R?,n0??cos?,cos?,cos???????
Pdydz?Qdzdx?Rdxdy?F?nds????0SS
四、高斯公式
定理 设?是由分块光滑曲面
S围成的单连通有界闭区域，
P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在?上有连续的一阶偏导数，则
129
??P?Q?R?????dv???Pdydz?Qdzdx?Rdxdy ????x?y?z???S(外侧)
????Pcos??Qcos??Rcos??dS
S其中cos?,cos?,cos?为S在点?x,y,z?处的法向量的方向余弦
五、斯托克斯公式
定理：设L是逐段光滑有向闭曲线，S是以L为边界的分块光滑有向曲面，L的正向与S的侧（取法向量的指向）符合右手法则，函数P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏导数，则有
??Pdx?Qdy?Rdz???LSdydzdzdxdxdy???
?x?y?zPQR??R?Q???Q?P???P?R??????dydz??dzdx???dxdy ?????y?z???z?x???x?y?S?也可用第一类曲面积分
cos??Pdx?Qdy?Rdz???L???xSP六、梯度、散度和旋度
cos???yQcos??dS ?zR1、梯度 设u?u?x,y,z?,则gradu????u?u?u?,,? ?x?y?z??称为u的梯度 ，令???则 gradu??u
?????,,?是算子 ??x?y?z???2、散度 设F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z??
???P?Q?R??则 divF??????F
?x?y?z??称为F的散度
130
???????divFdv?F?n高斯公式可写成?????0dS
?S （外侧）
???其中n0??cos?,cos?,cos??为外侧单位法向量
3、旋度
??设F??P?x,y,z?,Q?x,y,z?,R?x,y,z?????ijk ???????rotF???F??x?y?zPQR??R?Q????P?R????Q?P??＝?????i???k ?j????y?z???z?x???x?y???称为F的旋度。
斯托克斯公式可写成
??L????????F?dr???rotF?n0dS
??S????其中dr??dx,dy,dz?,n0??cos?,cos?,cos??
（乙）典型例题
一、用基本公式直接计算曲面积分
222
例1设P为椭球面S:x+y+z-yz=1的动点，若S在点P处的切平面与xoy面垂直，求点P的轨迹C，并计算曲面积分
I?????x?3?y?2z4?y?z?4yz2
2
22ds其中?是椭球面S位于曲线C上方的部分
2
解：令F（x,y,z）=x+y+z-yz-1,
则Fx'?2x,Fy'?2y?z,FZ'?2z?y,故动点P（x,y,z）的切平面的法向量（2x,2y-z,2z-y） 由于切平面与xoy面垂直，所以2z-y=0于是P点轨迹曲线C的方程为
?x2?y2?z2?yz?1 ?2z?y?0?因为曲面?在曲线C的上方的S部分，因此，曲面?的方程为z?13y?1?x2?y2 243???在xoy面的投影区域为D???x,y?x2?y2?1?
4?? 131
??z???z?曲面积分化二重积分ds?1??????dxdy
?x????y?22现在?的方程z=?z则??x?x1?x2?213y?1?x2?y2,24
32y4x??z? ???3?x22??1?x?y4?3y432y41?x2??323y?y42 321?x2?y242?z1???y21?x2?32?9232?221?x?y?y?3y1?x?y???z??444?? ???3?y????4?1?x2?y2?4??2??32?32?222??5?x?y??3y1?x?y?22?4????z???z??1??于是dxdy ????化简后得ds???x???y?321?x2?y24另一方面y+z-yz=(1-x)则
2
2
2
12??132??24?y2?z2?4yz?4??1?x2??3yz??5?x2?3y?y?1?x?y??2?? 4??????=??5?x2?12????32?3?y??3y1?x2?y2? 2?4?x?3dxdy???3dxdy?3?D12这样，I=
???D?33?? 22（D关于y轴对称，而x是奇函数，故
??xdxdy?0）
Dx2y2??z2?1的上半部分，点P?x,y,z??S,?为 S在点P处的切例2、设S为椭球面22
132
平面，??x,y,z?为原点到?的距离，求
zds ????x,y,z?S解：先求出??x,y,z?,设?X,Y,Z?为?上任一点，则?的方程为
x?X?x??y?Y?y??2z?Z?z??0
即
xyX?Y?zZ?1?0 22??x,y,z??0?0?0?1?x??y?2??z?????2??2?22?114?x2?y22 ?x2y2???，于是 由S的方程z?1??2??2??z???z?ds?1??????d????x???y?224?x2?y2?xy?21?????22?22d?
这样
z122dS?4?x?yd? ????????x,y,z?4DS22区域D:x?y?所以 原式＝
?2?
2212?32d?4?rrdr?? ????0042
二 用高斯公式计算曲面积分 例1 计算I???saxdydz??z?a?dxdy2x?y?z222 （a?0常数）
222其中S:z??a?x?y上侧(a?0)
?x2?y2?a2解：令曲面S1:?下侧
?z?0
于是S1?S为闭下半球面的内侧
设其内部区域为?，令D为xy平面上圆域x?y?a
222 133