εf (t | ω) =
0
∫ f ( u ,ε | ω ) du =
t
t
t
∞
1 N
πζ 2Q +
v ∑ ζ2 v
- 1
- 1 2
1 1 - 1
Φ Θ μt 2 exp - (Q - QΘ Q )ε ε ′t
2 t
( 26 )
其中 :Θ 2μt 的表达式参见式 ( 22 ) 。
由于 f (εt ) =
ω
t
1 f (ε| ω) g (ω;θ) dω等价于 E
∫
1 N
ω
f (εt | ω)
, 从 ω的联合概率分布 g (ω;θ) 中模拟抽取
εω ) ]充分精确的估计 。足够多的样本 , 代入式 ( 26 ) , 并对其取平均 , 能够得到 E用 ω( r) 表示从 g (ω; ω [ f (t |
θ) 中的第 r次抽样 , r = 1, 2 ?, R , 可得 :
1 εf (t ) =
R r = 1
R
∑ πζv 2
Q + ∑ ζ
2 v
- 1
- 2
1
exp - 1 ε′ 2 t ωr Q - QΘ Q - 1 εt ω r 2 Φ Θ μ | ωt
1 r ( 27 )
基于式 ( 27 ) , 可得到模拟对数似然函数如下 : T
α,β,ζu ,ζv ,λ,ρll (,δ,θ) = ∑ln
t = 1 1 R r = 1
R
∑ 1 N πζv 2( r)
Q + ∑ ζ2 v - 1 1 - 2 ×
2 ) Φ Θ μ
exp - 1 (ε| ω′t 2
) (Q - QΘQ ) (ε | t ω
- 1
1 ( r) t
ω ( r)
( 28 )
ω0 , 其中 ω0 当然 , 为了使模拟 ML实际可行 , 能够在 ω的联合分布 g (ω;θ) 中抽取样本 , 我们令 ω =θ
的分布参数已知 , 比如 ,ω服从联合正态分布 , 那么 θ就是其标准差 , 而 ω0 ～ N [ 0, I ]。只要式 ( 28 ) 是平滑 并且连续二阶可微的 , 以上模拟方法是可行的
2. 随机系数模型
[ 12, 14, 15 ]
。由于实际上积分不需要运算 , 一般来说 , 假设任何 ω 的
分布都可以进行模拟抽样 , 构建模拟对数似然函数 。
在模型式 ( 24) 的基础上 ,放宽确定性斜率系数 β的设定 ,让其具有随机性
+ vt - u t yt = α +ω + xt βi +λW 1 y t
βi ～ iid N (β,Ξ)
变量 、参数定义及其它假设参见前文 。实质上 , 上述模型可等价于 :
- u t yt = α +ω + xtβˉ +λW 1 yt + vt
vt ～ iid N ( 0,ζv
2
[ 16 ]
,进一步考虑截面异质性 :
( 29 )
( 30 )
( 31 )
∑ + M )
( 32 )
Ξ xt 。 其中 : M = x ′t
模拟似然函数的求解采用 ∑
+
ζ
1 ( ) ( ) 2 M代替式 25 至式 28 中的
v
当然 , 在进行实证研究 ∑ 即可 。
2
时 , 还需对 βi 的方差协方差阵此 β I, Ξ的设定做进一步的研究 , 譬如一种简单可行的处理方法是令 Ξ = ζ时式 ( 30 ) 变为 βi ～ iid N (β,ζ模型新增一个待估计的参数 ζ而当 Ξ = 0k ×模型就回复到式 ( 24 ) β I) , β。k 时 , 的形式 , 不再具有随机系数 。
如果不考虑空间相关性 , 即 ∑ = I, 此时随机系数模型相当于一般双异方差面板 SFM , 同时考虑 vit 和
uit 的异方差性 。
2
2
三 、技术效率估计
上述所有模型的参数估计不是最终目的 ,令人感兴趣的还有生产单位技术效率的估计 。AL S建议采用
[ 1 - E ( u ) ]来估计所有生产单位的平均技术效率 ; L ee 和 Tyle r ( 1978 ) 提出 TE = E ( exp { - u } ) ; JLM S
( 1982 )指出各个生产单元的技术无效率项 u i 可以通过 E ( u i |εεi )或 Mode ( u i |i )来估算 ,第 i个生产单位 ^i } ,其中 u^i = E ( u i |ε的技术效率 TEi = exp { uu i |εa tte se和 Coe lli ( 1988 )则提出 TEi = E ( exp i )或 Mode ( i ) ; B { - u i } |εi ) 。
基于 JLM S ( 1982 )的方法 ,本文给出针对前文所述各种模型的技术效率估计 。 首先估计模型式 ( 3 )及式 ( 4 )的技术效率 , u t 的条件分布密度函数为 :
f ( u t ,ε 1 t ) 1 ) = exp f ( u t | ε= ( u - μt ) ′Ω - t 1 / 2 f (ε2 tπ N / 2 | Ω | Φ Ω - 1 / 2μ t t ) 21 / 2
= 其中 , | Ω |
- 1
( u t - μt )
( 33 ) ( 34 )
1 ζuζv
(ζuI +ζ
2 2
v
∑
)
1 / 2
∑
- 1 / 2 μt 、Ω、Ω
- 1 / 2
μt 分别参见式 ( 9 ) 、式 ( 10 ) 及式 ( 12 ) 。 ( 35 )
+ ) 。易见式 ( 33 ) 是一个 N 维截尾正态分布 N (μ ,tΩ因此 , M ode ( uit | ε= μt ) it N E ( uit | εt ) = μit + k = 1
∑< ( rk t ) cik 1 Φ ( - rk t )
1
( 36 )
i行 ; rk t 是 - Ω 2μt 的第 k 个
-
1
其中 ,Φ ·是标准正态分布函数 ; < ·是标准正态密度函数 ; cig 是 Ω 2 的第 分量 。
所以 , 第 i个生产单位在第 t时段的技术效率为 :
^ ^ } = exp - μ 或 exp - μ - TEit = exp { - uit it it N
ik ∑< rk t c Φ - rk t k = 1
1
1 ( 37 )
当考虑技术无效率项 uit 的异方差性时 , 技术效率的估计参见式 ( 37 ) , 其中 , cig 是 Θ - 2 的第 i行 ; rk t 是 μt 、Θ 2μt 分别参见式 ( 19 ) 、- Θ 2μt 的第 k个分量 ;Θ、式 ( 20 ) 及式 ( 22 ) 。
当引入随机截面特有项 ωi 时 , 技术效率的估计等同于考虑 uit 异方差性时的情形 , 只是计算中所要求
R 1 R 1 ω ( r) 来代替 。ω 的 ω用其模拟抽样的均值 而随机系数模型的技术效率估计 , 除了用 R r = 1 R r = 1
1 外 , 还要将 替换成 + 2 M 。
ζ
1 1 ∑∑
( r)
代替 ω之
∑∑
v
四 、研究结论与展望
本研究构建了空间面板 SFM 的理论基础 ,进一步将空间效应引入 SFM 分析框架中 ,同时考虑空间滞
后因变量和空间误差自相关 ,并逐步放松模型设定条件 ,建立若干不同形式的空间面板 SFM。首先放松技 术效率非时变的约束 ,考虑时变的技术效率 ,且不赋予技术效率一定的函数结构 ; 接着引入技术无效率项
uit的异方差性 , 当面板数据的截面维 N 远大于时间维 T时 , 直接估计每个生产单元的 ζu i不大可行 , 本文采 )来代替 ζu i ; 之后考虑观察数据中潜在的截面异质性 , 通过两种形式来考察 用相关变量 zi 的函数 g ( zi ;δ
截面异质性 :其一是在模型中引入一个非时变的随机截面特有项 ωi , 并为其设定某种常用的概率分布 ; 其
2
2
二是放宽确定性斜率系数 β的设定 , 让其具有随机性 。针对上述各种模型设定形式提出相应的参数估计 方法 , 最后给出各种模型相应技术效率的估计 。
为了行文的方便 , 本研究仅考虑随机前沿生产函数模型 , 研究结果只要略作改动 , 可以直接应用到随 机前沿成本函数模型 , 用以研究成本效率 。
当然 , 本文还有进一步深入研究的空间 。譬如就空间误差自相关模型形式而言 , 除考虑随机干扰项 vt
具有空间相关性外 , 还可将空间误差自相关结构运用于技术无效率项 uit 。就技术无效率项 uit而言 ,首先可 以为其设定其它概率分布形式 ,如截尾正态分布 、指数分布以及 Gamm a分布等 ;其次可以放宽其在截面维
度 N 和时间维度 T 上都是独立同分布的假设 ,对于一个生产单元来说 ,其技术效率在时间上具有一定相 关性的假设应该更接近现实 ,而同地区同行业生产单元之间技术效率相互独立的约束条件也未免显得比 较强 。在模型估计方法方面 ,除了 ML (或模拟 ML )法 ,还可以进一步研究其它方法 ,譬如 GMM、贝叶斯分 析 。本文以上研究结果均可用于将来进行的实证研究 。 参考文献 :
[ 1 ] A IGN ER D , LOV ELL K, SCHM ID T P. Fo rm u la tion and E stim a tion of Stocha stic F ron tie r P roduc tion Func tion Mode ls [ J ].
Jou rna l of Econom e tric s, 1977 ( 6 ) : 21- 37. [ 2 ]M EEU SEN W , VAN D EN BRO ECK J. Effic iency E stim a tion from Cobb2Dougla s P roduc tion Func tion s w ith Compo sed E rro r[ J ].
In te rna tiona l Econom ic R eview, 1977 ( 18 ) : 435 - 444. [ 3 ] JONDROW J , LOV ELL K, MA TEROV I, SCHM ID T P. O n the E stim a tion of Techn ica l Ineffic iency in the Stocha stic F ron tie r
P roduc tion Func tion Mode l[ J ]. Jou rna l of Econom e tric s, 1982 ( 19 ) : 233 - 238.
[ 4 ]涂正革 ,肖耿 . 中国的工业生产力革命 ———用随机前沿生产模型对中国大中型工业企业全要素生产率增长的分解及分
析 [ J ]. 经济研究 , 2005 ( 3) : 4 - 15. [ 5 ]胡晶 ,魏传华 ,吴喜之 . 空间误差自相关随机前沿模型及其估计 [ J ]. 统计与信息论坛 , 2007 , 22 ( 2 ) : 26- 28.
[ 6 ]DRU SKA V , HORRACE W. Gene ra lized Mom en ts E stim a tion fo r Sp a tia l Pane l D a ta: Indone sian R ice Fa rm ing [ J ]. Am e rican
Jou rna l of A gricu ltu ra l Econom ic s, 2004 , 86 ( 1 ) : 185 - 198.
[ 7 ] IGL IOR I D. D e te rm inan ts of Techn ica l Effic iency in A gricu ltu re and Ca ttle R anch ing: A Sp a tia l A na lysis fo r the B razilian
Am azon [ C ]. P roceed ings of the 33 th B razilian Econom ic s M ee ting, 2005.
[ 8 ] SCHM ID T A , MOR E IRA A , H EL FAND S, e t a l. Sp a tia l Stocha stic F ron tie r Mode ls: A ccoun ting fo r U nob se rved Loca l
D e te rm inan ts of Ineffic iency[ J ]. Jou rna l of P roduc tivity A na lysis, 2009 ( 31 ) : 101 - 112.
[ 9 ] P ITT M , L EE L. the M ea su rem en t and Sou rce s of Techn ica l Ineffic iency in Indone sian W eaving Indu stry [ J ]. Jou rna l of
D eve lopm en t Econom ic s, 1981 ( 9 ) : 43 - 64.
[ 10 ] SCHM ID T P, S ICKL ES R. P roduc tion F ron tie rs and Pane l D a ta [ J ]. Jou rna l of B u sine ss and Econom ic Sta tistic s, 1984, 2 ( 4 ) :
367- 374.
[ 11 ] KUMBHA KAR S, LOV ELL K. Stocha stic F ron tie r A na lysis[M ]. Cam b ridge: Cam b ridge U n ive rsity P re ss, 2000: 115 - 130. [ 12 ] GR EEN E W. F ixed and R andom Effec ts in Stocha stic F ron tie r Mode ls[ J ]. Jou rna l of P roduc tivity A na lysis, 2005 ( 23 ) : 7- 32. [ 13 ] GR EEN E W. R econ side ring H e te rogene ity in Pane l D a ta E stim a to rs of the Stocha stic F ron tie r Mode l [ J ]. Jou rna l of
Econom e tric s, 2005 ( 126 ) : 269 - 303. [ 14 ] GR EEN E W. Sim u la ted L ike lihood E stim a tion of the No rm a l2Gamm a Stocha stic F ron tie r Func tion [ J ]. Jou rna l of P roduc tivity
A na lysis, 2003 ( 19) : 179- 190.
[ 15 ] GOUR IEROUX C, MON FOR T A. Sim u la tion B a sed Econom e tric s[M ]. N ew Yo rk: O xfo rd U n ive rsity P re ss, 1996: 41- 49.
Spa t ia l Pan e l S tocha st ic Fron t ier M ode l an d Techn ica l Eff ic ien cy E st im a t ion
L IN J ia2xian, LON G Zh i2he, L IN Kuang2p ing
( 1. S chool of Econom ics and C omm ence, S ou th Ch ina U n iversity of Technology, Guangzhou 510006, Ch ina;
2. D epa rtm en t of Econom ics, Portland S ta te U n iversity, Portland 97207, U SA )
1
1
2
A b stra c t: Stocha stic fron tie r mode l is one of impo rtan t m e thod s fo r m ea su ring techn ica l effic iency. Gene ra lly, the mode l a ssum e s tha t p roduc tion un its a re indep enden t of each o the r. Howeve r, sp a tia l exte rna litie s p lay an impo rtan t ro le in d iffu sing techn ica l p rogre ss and po in ts in sp ace a re co2re la ted. B y com b in ing stocha stic fron tie r p roduc tion theo ry w ith sp a tia l econom e tric ana lysis, we p ropo se a sp a tia l p ane l stocha stic fron tie r mode l in wh ich bo th of sp a tia lly lagged dep enden t va riab le s and sp a tia lly au to regre ssive e rro r te rm s a re con side red, a t the sam e tim e, we re lax the mode l a ssump tion s tha t seem to be strong one s. F irstly, tim e2va rying techn ica l effic iency mode l is ana lyzed. Second ly, the con sequence of he te ro skeda stic ity in the techn ica l ineffic iency is inve stiga ted. Then, we con side r som e exten sion s tha t accoun t fo r the la ten t c ro ss un it he te rogene ity. Exp lic it mode ls fo r unm ea su red c ro ss un it he te rogene ity a re bu ilt in to the stocha stic fron tie r. E stim a tion m e thod s fo r va riou s k ind s of refo rm u la ted mode ls a re p re sen ted. F ina lly, we focu s on the e stim a tion and comp a rison of techn ica l effic iency m ea su re s.
Key word s: technical efficiency; stochastic frontier; spatial econometrics; maximum likelihood; simulated likelihood function
(责任编辑 孙敬水 )