第五讲 有条件的分式的化简与求值
给出一定的条件，在此条件下求分式的值称为有条件的分式求值．而分式的化简与求值是紧密相连的，求值之前必须先化简，化简的目的是为了求值，先化筒后求值是解有条件的分式的化简与求值的基本策略．
解有条件的分式化简与求值问题时，既要瞄准目标．又要抓住条件，既要根据目标变换条件．又要依据条件来调整目标，除了要用到整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下技巧:
1．恰当引入参数；
2．取倒数或利用倒数关系； 3．拆项变形或拆分变形； 4．整体代入； 5．利用比例性质等． 例题求解 【例1】若
ab?bc?cd?da，则
a?b?c?da?b?c?d的值是 ．
( “希望杯”邀请赛试题) 思路点拨 引入参数，利用参数寻找a、b、c、d的关系． 注：解数学题是运用巳知条件去探求未知结论的一个过程．如何运用已知条件是解题顺畅的重要前提，对巳知条件的运用有下列途径： (1)直接运用条件； (2) 变形运用条件； (3) 综合运用条件； (4)挖掘隐含条件． 在解某些含多个字母的代数式问题时，如果已知与未知之间的联系不明显，为了沟通已知与未知之间的联系，则可考虑引入一个参数，参数的引入，可起到沟通变元、消元的功能．
【例2】如果a?1b?1，b?2c?1，那么c?2a等于( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (全国初中数学联赛武汉选拔赛) 思路点拨 把c、a用b的代效式表示． 【例3】已知xyz?1，x?y?z?2，x2?y2?z2?16，求代数式
1xy?2z?1yz?2x?1zx?2y的值． (北京市竞赛题)
思路点拨 直接通分，显然较繁，由x+y+z=2，得z=2－x－y，x=2－y－z，z＝2－x－y，从变形分母入手．
【例4】不等于0的三个数a、b、c满足个互为相反数．(天津市竞赛题)
思路点拨 要证a、b、c中至少有两个互为相反数，即要证明(a+b)(b+c)(c+a)＝0，使证明的目标更加明确．
【例5】 (1)已知实数a满足a2－a－1=0，求a8?7a?4的值． 河北省竞赛题)
1a?1b?1c?1a?b?c，求证a、b、c中至少有两
(2)汜知
(a?b)(b?c)(c?a)(a?b)(b?c)(c?a)?5132，求
aa?b?bb?c?cc?a的值．
(“北京数学科普日”攻擂赛试题) 思路点拨 (1)由条件得a2=a+1，a?解题的关键．(2)已知条件是
a?ba?b1a?1，通过不断平方，把原式用较低的多项式表示是
c?ac?a、
b?cb?c、三个数的乘积，探求这三个数的和与这三的值是解本例的关键．
个数的积之间的关系，从而求出
a?ba?b+
b?cb?c+
c?ac?a学历训练
1．已知x?x?3?0，那么 (淄博市中考题) 2．已知
xx223?x2?x3x?1x22= ．
?7，则
x?x?14?x?1= ．
?aa?bb?cc3．若a、b、c满足a+b +c=0，abc>0，且x，y=a(1b?1c)?b(1c?1a)?c(1a?1b)，
则x?2y?3xy= ． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 4．已知
a?b2?b?2c3?3c?a4，则5a?6b?7c8a?9b= ． ( “五羊杯”竞赛题) 5．已知a、b、c、d都是正数，且③
ba?b?dc?dabdc?d?cd，给出下列4个不等式：①aa?b?cc?d；②
aa?b?cc?d；
；④ ba?b?，其中正确的是( ) A．①③ B．①④ C．②④ D．②③ (山东省竞赛题) 6．设a、b、c是三个互不相同的正数，如果a?cb?ca?b?ba，那么( ) A． 3b=2c B．3a=2b C．2b=c D．2a=b (“祖冲之杯”邀请赛试题)
7．若4x—3y一6z=0，x+2y－7z=0(xyz≠0)，则代数式
121925x2x22?2y22?z22的值等于( )．
?3y?10zA． ? ? C．－15 D． －13
(全国初中数学竞赛题)
8．设轮船在静水中速度为v，该船在流水(速度为u A．T=t B．T (山西省中考题) (2)设a?b?c10．已知x?11．若abc?0，求 1za222a?bc?b222b?ac?c22的值． 2c?ab1y?y??z?a?bc1x?，其中x、y、z互不相等，求证：x2y2z2=1． b?ca?c?ab?0，且，则 1b(a?b)(b?c)(c?a)abc1c)?b(1a?1c)?c(1a= ． ?1b)??312．已知a、b、c满足a2?b2?c2?1，a(为 ． 13．已知 xyx?y?1， yzy?z?21y?，那么 a+b+c的值 ， ?4zxz?x?3，则x的值为 ． ?1，z?1x?7314．已知x、y、z满足x?，y?1z，则xyz的值为 ． (全国初中数学竞赛题) 15．设a、b、c满足abc≠0，且a?b?c，则b2?c2?a22bc?c2?a2?b22ca?a2?b2?c22ab的值为 A．－1 B．1 C．2 D．3 (2003年南通市中考题) 16．已知abc=1，a+b+c=2，a2?b2?c2?3，则A．－1 B．?121ab?c?1?1bc?a?1?1ca?b?1的值为( ) C．2 D．?23 (大原市竞赛题) 17．已知—列数a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7，且a1=8，a7=5832， a1a2?a2a3?a3a4?a4a5?a5a6?a6a7，则a5为（ ） A．648 B． 832 C．1168 D．1944 18．已知x?5x?1991?0，则代数式2(x?2)?(x?1)?1(x?1)(x?2)42的值为( ) A．1996 B．1997 C．1998 D．1999 19．（1）已知b?ac，求2abca322323?(1a3?1b3?1c3)的值； x2?b?c(2)已知x、y、z满足(北京市竞赛题) 20．设a、b、c满足(波兰竞赛题) 21．已知a?a?1?0，且 2xy?z?yz?x?zx?y?1，求代数式 y?z?y2z?x?z2x?y的值． 1a?1b?1c?1a?b?c，求证：当n为奇数时， a1n?bn?cn?1an?1bn?1cn 2aa34?3xa?2xa22?2?a??93112，求x的值． (上海市高中理科班招生试题) 22．某企业有9个生产车间，现在每个车间原有的成品一样多，每个车间每天生产的成品也一样多，有A，B两组检验员，其中A组有8名检验员，他们先用2天将第一、第二两个 车间的所有成品(指原有的和后来生产的)检验完毕后，再检验第三、四两个车间的所有成品，又用去了3天时间，同时，用这5天时间，B组检验员也检验完余下的5个车间的所有成品．如果每个检验员的检验速度一样快，每个车间原有的成品为a件，每个车间每天生产b件成品． (1)试用a、b表示B组检验员检验的成品总数； (2)求B组检验员的人数． (天津市中考题)