要点：(1)切取基元体（2）确定基元体所受应力（3）建立基元体平衡微分方程（4）补充塑性条件（5）将平衡微分方程与塑性条件联立，求解接触面正应力分布（6）依据边界条件确定积分常数（7）求变形力P和单位流动压力p
14．1．4．2 主轴坐标系
若以主应力（σ1 σ2 σ3方向即主轴方向）作坐标系，则坐标轴为1，2，3方向轴。
??10此时???0?ij2??0?00?， 0???3??在此坐标系下的任意斜面（l, m, n）上有：
S1=σ1l S2=σ2m S3=σ3n 以及：S=σ1 l+ σ2 m +σ3n σ=σ1 l+ σ2 m +σ3n τ= S-σ 而且：J1=σ1 + σ2 +σ3 2222222222222J2=-(σ1σ2 + σ2σ3 +σ3σ1) J3=σ1σ2σ3 又由于：l2+m2+n2=1 所以有：
s12?21?2s2?22?2s3?23?1
此方程为一椭球面方程，称应力椭球面。
其中S1 S2 S3分别表示全应力S在1，2，3轴向上的投影。
概念： 单向应力状态——两个主应力为0
平面应力状态——一个主应力为0
可以分别写出单向应力状态和平面应力状态的应力张量
14．1．4．3 解例
0?10??10?Mpa，求主应力及主方向 例题：?ij??0?100???010???10?解：方法1，可以求J1 J2 J3，然后求解。
10??方法2，用?E0?10??0?10010???10?10??0?1010???0??ij?0 即
0?10?0
行变换后??0?100?10??0??010???0 即
?0?10
再列变换有 ??10??0注意：σ1 σ2 σ3按大小顺序排列。
020???0 所以：σ1=20，σ2=0，σ3=-10 将σ1=20代入求 l1 m1 n1 有方程组：
（10-σ1）l+0×m-10n=0 0×l+(-10-σ1)m+0×n=0 -10×l+0×m+（10-σ1）n=0 且有：l2+m2+n2=1
可求出：l1 = -n1= ±1/2 m1=0
同理代入σ2=0 可求出l2 = n2=±1/2 m2=0 σ3=-10可求出l3 = n3=0 m3=±1
实际上解本题：将对称阵经正交变换转变为对角阵，且求正交变换，即：
0?10??10已知，求C??ij??0?100???010???10??l1???m1??n1l2m2n2l3? m3??n3??使
??10C?ijC???0?2?0?0?10? 0???3??14．1．7 八面体应力与等效应力 octahedral stress and equivalent stress 14．1．7．1 八面体应力
以应力主轴作坐标轴，作等倾微分面，即平面法线方向余弦为：
l?m?n?1
3此时有：??1??????????J/3
8123m13τ8=13(σ1σ2)+(σ22σ3)+(σ23σ1)=22322τ12+τ223+τ31=2'J23
?8——八面体正应力 ?8——八面体切应力，与应力偏量之J2'有关
任意坐标系中八面体应力：?8?1??x??y??z?
3?8?13??x222222 ??y????y??z????z??x??6?xy??yz??zx??14．1．7．2 等效应力?equivalent stress（广义应力，广义强度） 定义：??3??1822??1??2?2???2??3?2???1??3?2
22??12??x222??y????y??z????z??x??6?xy??yz??zx2??2
注意：1)
?在变形体中不存在，只表示在三个主应力的综合效果。
2)
?主要用于研究塑性变形。
单向拉伸时：?=?1 三向应力时：（若
?1?2?3≥
≥
）则：
3)(?1??3)??2~1.7321??max?=(1~214．1．9．1 平面应力状态plane stress（某个平面无应力）
加载时：??即d?>0， 卸载时：??即d?<0， 若d?＝０则为中性载荷或中性变载。
平面应力张量为：
??x?xy?ij????yx?y?0?00?0??0?? 或
??10?0?2??00?0?0??0??
???x??yx??0平衡方程为：? ??x?y?????y?xy??0???y?x任意斜面上：
正应力
??1??x??y??1??x??y?cos2???xysin2? 22切应力??1??x??y?sin2???xycos2? 2主应力?1??x??y?(?x??y)2??2
xy?222主切应力（
?3?0）?12???1??22??(?x??y22 )2??xy?23???2 2?31???1 2注意：无应力方向不一定无应变（如薄壁件变形）。
1．9．2 平面应变plane strain状态下的应力（某个平面无变形）
不产生变形的方向上无切应力（主方向）只有正应力且正应力满足：
???z????x??y??1???z???x??y???m2???z??0??z?弹变 塑变此应力刚好阻止z方向上的变形。
??x?xy?ij????yx?y??00?0???10?0????0?2?z???00????1??2????20???0??1??2???02????00??1??220?????20??12??0???0??0????0??0?1??220? ??0???1??2?2??0
可求平衡微分方程，斜面上应力，主应力。
?12???1??22??max2?23??31???1??3
滑移线理论由此而建立，即max所在平面与两主平面成45°
15．1．3．5 应变球张量与偏张量
1??x??y??z??1??1??2??3??1?1??m?0333??m?
球张量代表体积变化（纯塑变时为0），偏张量代表形状变化。15．1．3．6 八面体应变与等效应变
?8??8?1??x??y??z??1??1??2??3???m33
11222222??x??y?2???y??z?2???z??x?2?6??xy???yz??zx???1??2????2??3????3??1?33 单向拉伸时主应变?1
??2?815．1．9．1 平面变形 平面变形应变张量：
??x?ij????yx??0?2??3???1 2???1
?xy?y00? 0??0??几何方程为：
u?v?u1?u??x??,??,???yxy?x?y2?y?x?而又有
?x??y??z?0 其中?z?0
??x???y而此时?z?15．1．9．2 轴对称变形
?????ij??0??z??0?x??y2??m阻碍此方向变形。
??z???0? 0??z??w?u1?w?z?????? ?z2???z? ?z几何方程为：
????u?? ????
u单向均匀拉伸，锥模挤、拉、圆柱体镦粗时
u与?成线性。
?uu????????????? ???16．3．3
π平面上的屈服轨迹。π平面：在??,?1,2,3,空间，通过原点且垂直于等倾线的平面，
方程为：?1??2??3?0?平面上的屈服轨迹：为
23?3的圆及内接正六边形。
意义：??1??2??3?0即?m?0?没有应力球张量，即应力偏张量的屈服准则。
16．6 屈服准则的应用 例题 薄壁圆筒半径r,壁厚t,内压P，求屈服时P的大小，设屈服应力为解：应力状态分析，取坐标系
外表面：内表面：
?s
??,?z存在 ???0
??0
??,?z,?? 均存在 τ=0
p?2rprp?r2pr ?????z??2tt,2?rt2t外表面：Mises:
??1??2?2???2??3?2???3??1?2?2?s2
23t?r?s?1.155rt?s
P?Tresca:
?1??3??s p?t?rs
内表面：Mises:
p?2t3r?6rt?4t22?s 即p?2t3?r?t??t22?s
Tresca:
tP??s
r?t例题 薄壁管受拉、扭复合载荷屈服，管壁受均匀拉应力Mises 屈服准则表达式：
?和切应力
?，试求这种情况下Tresca和
分析：Tresca, Mises f(?1,?2,?3)~?s, 本题已知σ,τ而未知?1,?2,?3, 因此其思路为：根据
?,?，
求
?1,?2,?3, 薄壁管?平面应力状态?
?2?0
解：作应力莫尔圆：圆心：M
所以?1?2,0?? 半径MA=
?2??2??2
??2???2?2??2 ????32??2?2??2
Tresca 准则为：
即
?2?1??3??s ?4??? 或???4??2s?2?s?2?s?1
Mises准则为：??1??2?2???2??3?2???3??1?2?2?s2
2即?2?3?2??s 或?s???3???2?2?s?1
18．5．4 影响摩擦系数friction coefficient的因素
1）金属本身 2）工具表面状态（接触表面contact surface粗糙度finish）3）变形温度 4）变形速度 5）接触面上单位压力(单位接触面积contact unit area)
19.2 滑移线法slip field theory19.2.1.1 平面变形的应力
??100???1??32?0???020? ??00??3??塑变屈服时?max?12??1??3??K ??x??m?ksin2?莫尔圆为：??????ksin2? ?ym??xy??kcos2?
?1??3m?2
??1??m?k??45?时??? 2???m??3??m?k ?