武汉大学高等数学试卷汇编
2003-2004年第一学期
※※※※※※高等数学（180学时）试题A卷※※※※※※
一．填空题（每小题4分，共20分）
?sin2x,x?0,?1．f?x???在x?0处连续，则常数k?______. x2??3x?2x?k,x?0.2．limx?ln?1?x??lnx? ________________________.
x???
3．f?x?的一个原函数为xlnx，则f??x??______. 4．??1?x?4?x2dx?__________.
?22?1?x?5．使级数?1??1?x??2nn?122n收敛的实数x的取值范围是__________.
二．选择题（每小题4分，共20分） 1x2?x?lnx?sinx的可去间断点的个数是（ D） 1．f?x??2x?1??A.0 B.1 C.2 D.3
2．已知f??1??2，则limx?0f?1?x??f?1?x??（D）
xA.2 B.?2 C.4 D.?4
?3．设I1??40tanxxdx，则（B） dx，I2??40tanxx? A.I1?I2?1 B.1?.I1?I2 C.I2?I1?1 D.1?I2?I1.
1??4．级数??1?cos?（k为正整数）的敛散性是（A ）
n?n?k?A.??绝对收敛 B. 条件收敛 C.x?0 发散 D.与k无关
5．已知f?x?二阶导数连续，且f?0??0以及lim处的曲率k为（C ）
f?x??1，则曲线y?f?x?在x?02x1
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A.0 B.1 C.2 D.三．计算下列各题（每小题6分，共30分）
?sinx?1．求极限lim??x?0?x?11?cosx不存在
2．y?sin2x，求y?2004?. 3．求不定积分?4．求广义积分?2cosxdx.
sinx?2cosx??0?1?x??1?x?2?15?1dx.
?x?tulnudu,??15．设?12y?u??t2lnu?
d2y?t?1?，求2.
dx四．（8分）曲线y?f?x?由方程9x2?16y2?25给出. （1）求所给的曲线上点P?a,b?处的切线方程.
（2）在所给的曲线位于第一象限的那部分上求一点，使其切线与坐标轴所围的面积最小.
五．（7分）平面图形D由曲线xy?1,x?y以及x?2围成，求D绕x轴旋转所成的立体的体积.
?x六．（8分）证明：方程lnx???1?cos2xdx在?0,???内有且仅有两个根.
e0?x证明：（一）令f?x??lnx???1?cos2xdx，x??0,???.
e0七．（7分）f?x?具有三阶连续导数，且f????a??0.f?x?在x?a处的一阶泰勒公
h2f???a??h?式为 f?a?h??f?a??hf??a??21试证：当h?0时，??.
3?0???1?. ①
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