习题10?5
1? 按对坐标的曲面积分的定义证明公式?
? ???P2(x,y,z)]dydz??[P1(x,y,z)?P2(x,y,z)]dydz???P1(x,y,z)dydz??? 解 证明把?分成n块小曲面?Si(?Si同时又表示第i块小曲面的面 积)? ?Si在yOz面上的投影为(?Si)yz? (?i ? ?i ??i )是?Si上任意取定的一点?
?是各小块曲面的直径的最大值? 则
??[P1(x,y,z)?P2(x,y,z)]dydz
?n ?lim?[P1(?i,?i,?i)?P2(?i,?i,?i)](?Si)yz
??0i?1nn ?lim?P1(?i,?i,?i)(?Si)yz?lim?P2(?i,?i,?i)(?Si)yz
??0i?1??0i?1 ???P1(x,y,z)dydz???P2(x,y,z)]dydz?
?? 2? 当?为xOy面内的一个闭区域时? 曲面积分??R(x,y,z)dxdy
?与二重积分有什么关系？ 解 因为?? z?0? (x? y)?Dxy? 故
? ????R(x,y,z)dxdy??R(x,y,z)dxdy?Dxy当?取的是上侧时为正号? ?取的是下侧时为负号? 3? 计算下列对坐标的曲面积分? (1)??x2y2zdxdy其中?是球面x2?y2?z2?R2的下半部分的下侧? ? 解 ?的方程为z??R2?x2?y2? Dxy? x2?y2?R? 于是 ??x?2??y2zdxdy??xDxy2y2(?R2?x2?y2)dxdy 2 ??d??r2cos??r2sin??R2?r2?rdr 002?R
2?R ?1?sin22?d??R2?r2r5dr?2?R7? 400105 (2)??zdxdy?xdydz?ydzdx? 其中z是柱面x2?y2?1被平面z?0及 ?z?3所截得的第一卦限内的部分的前侧? 解 ?在xOy面的投影为零? 故??zdxdy?0? ? ?可表示为x?1?y2? (y? z)?Dyz?{(y? z)|0?y?1? 0?z?3}? 故 ??xdyz????Dyz1?ydydz?2?0dz?0311?ydy?3?2101?y2dy ?可表示为y?1?x2? (z? x)?Dzx?{(z? x)|0?z?3? 0?x?1}? 故 ???ydzd?x??Dzx1?x2dzdx??dz?03101?x2dx?3?101?x2dx? 因此 yxdyd?zydzdx?2(3???zdxd??101?x2dx)?6??4?3?2? 解法二 ?前侧的法向量为n?(2x? 2y? 0)? 单位法向量为 (co?s, cos?, cos?)?由两种曲面积分之间的关系? 1x?y22(x, y, 0)? ??zdxdy??xdydz?ydzdx???(xcos??ycos??zcos?)dS? 3?2 ???(x??xx?y22?y?yx?y22)dS????x2?y2dS???dS??? 提示?
??dS表示曲面的面积?
?? (3)??[f(x,y,z)?x]dydz?[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy? 其中 f(x? y? z)为连续函数? ?是平面x?y?z ?1在第四卦限部分的上侧? 解 曲面?可表示为z?1?x?y ? (x? y)?Dxy?{(x? y)|0?x?1? 0?y?x?1}? ?上侧的法向量为n?(1? ?1? 1)? 单位法向量为
111 (co?s, cos?, cos?)?(, ?, )? 333由两类曲面积分之间的联系可得 z[2f(x,y,z)?y]dzdx?[f(x,y,z)?z]dxdy??[f(x,y,z)?x]dyd?? ???[(f?x)cos??(2f?y)cos??(f?z)cos?]dS ? ???(f?x)?1?(2f?y)?(?1)?(f?z)?1]dS ?333 ?1
3??(x?y?z)dS??13??dS?????dxdyDxy12? (4)??xzdxdy?xydydz?yzdzdx? 其中?是平面x?0? y?0? z?0? x?y?z?1 ?所围成的空间区域的整个边界曲面的外侧? 解 ???1??2??3??4? 其中 ?1? x?0? Dyz? 0?y?1? 0?z?1?y? ?2? y?0? Dzx? 0?z1? 0?x?1?z? ?3? z?0? Dxy? 0?x?1? 0?y?1?x? ?4? z?1?x?y? Dxy? 0?x?1? 0?y?1?x? 于是 ??xzdxdy??????????????1?2?3?41?0?0?0???xzdxd y?41?x ???Dxyx(1?x?y)dxdy??xdx?00(1?x?y)dy?124? 由积分变元的轮换对称性可知 ??xydydz???yzdzdx???124? 因此
???xzdxdy?xydydz?yzdzdx?3?11?248?
解 ???1??2??3??4? 其中?1、?2、?3是位于坐标面上的三块? ?4? z?1?x?y? Dxy? 0?x?1? 0?y?1?x? 显然在?1、?2、?3上的曲面积分均为零? 于是 ??xzdxdy??xydydz?yzdzdx ???xzdxd?yxydyd?zyzdzd x?4 ???(xycos??yzcos??xzcos?)dS
?4 ?3??(xy?yz?xz)dS?3??[xy?(x?y)(1?x?y)]dxdy?1? ?4Dxy8 4? 把对坐标的曲面积分 化成对面积的曲面积分? ?Q(x,y,z)dzdx?R(x,y,z)dxdy??P(x,y,z)dydz? (1)?为平面3x?2y?23z?6在第一卦限的部分的上侧? 解 令F(x,y,z)?3x?2y?23z?6? ?上侧的法向量为? n?(Fx,Fy,Fz)?(3, 2, 23)? 单位法向量为 1s,cos?,cos?)?(3, 2, 23)? (co?5于是 zQdzd?xRdxd y??Pdyd?? ???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ? ???1(3P?2Q?23R)dS? ?5 (2)?是抛物面z?8?(x2?y2)在xOy面上方的部分的上侧? 解 令F(x? y? z)?z?x2?y2?8? ?上侧的法向量
n?(Fx? Fy? Fz )?(2x? 2y? 1)? 单位法向量为 (co?s,cos?,cos?)?于是 11?4x?4y22(2x, 2y, 1)? zQdzd?xRdxd y??Pdyd?? ???(Pcos??Qcos??Rcos?)dS ? ????11?4x?4y22(2xP?2yQ?R)dS?