排列组合常用方法总结 适用学科 知识点 学习目标 学习重点 学习难点 数学 加法计数原理 乘法计数原理 掌握有关排列组合问题的基本解法，提高分析问题与解决问题的能力 有条件限制的排列组合应用问题 排列与组合的区别 适用年级 高三 学习过程
一、复习预习
加法原理：做一件事，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，??，在第n类办法中有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1十m2十?十mn种不同的方法．
乘法原理：做一件事，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，??，做第n步有mn种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1 m2?mn种不同的方法
二、例题精析
【例题1】【特殊元素、特殊位置】优先法
在排列、组合问题中，如果某些元素或位置有特殊要求，则一般需要优先满足要求 有0,1,2,3,4,5可以组成没有重复的五位奇数的个数为（ ）
【例题2】【相邻问题】捆绑法
题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列.
【题干】A,B,C,D,E五人并排站成一排，如果A,B必须相邻且B在A的右边，那么不同的排法种数有（ ）
【例题3】【相离问题】插空法
元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端.
【题干】七人并排站成一行，如果甲乙两人必须不相邻，那么不同的排法种数有 种
【例题4】【选排问题】先选后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素，再安排到一定的位置上，可用先选后排法 【题干】四个不同球放入编号为1，2，3，4的四个盒中，则恰有一个空盒的放法有多少种？
【例题5】【相同元素分配问题】隔板法
将n个相同的元素分成m份(m,n均为正整数)，每份至少一个元素，可以用 m-1块隔板插
m?1入n个元素排成一排的n-1个空隙中，所有分法数为:Cn?1。
【题干】10个三好生名额分到7个班级，每个班级至少一个名额，有多少种不同分配方案？
【题干】把20个相同的球全放入编号分别为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于其编号数，则有多少种不同的放法？
变式1：7个相同的小球，任意放入四个不同的盒子，问每个盒子都不空的放法有种.
变式2：马路上有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的9盏路灯，为节约用电，可以把其 中的三盏路灯关掉，但不能同时关掉相邻的两盏或三盏，也不能关掉两端的路灯，满足条件 的关灯办法有种
【题干】将4个相同的白球、5个相同的黑球、6个相同的红球放入4各不同的盒子中的3 个中，使得有一个空盒且其他盒子中球的颜色齐全的不同放法有多少种？
【例题6】【平均分组问题】消序法
平均分成的组，不管他们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要消除顺序（除以
n，n为均分的组数），避免重复计数。 An【题干】6本不同的书平均分成3组，每堆2本的分法数有（）种
【例题7】【有序分配问题】逐分法
有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组
【题干】将12名警察分别到三个不同的路口进行流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案有()种
【例题8】【“至少”“至多”问题等用】排除法
【题干】从4台甲型和5台乙型电视机中任取3台，其中至少要甲型和乙 型电视机各一台，则不同的取法共有（ ）种
四、课堂运用
【基础】
1.6个人分乘两辆不同的汽车，每辆车最多坐4人，则不同的乘车方法数为( )
A．40
B．50 C．60
D．70
2.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有( )
A．36种
B．48种 C．72种
D．96种
【巩固】
1.只用1,2,3三个数字组成一个四位数，规定这三个数必须同时使用，且同一数字不能相邻
出现，这样的四位数有( )
A．6个
B．9个 C．18个
D．36个
2.男女学生共有8人，从男生中选取2人，从女生中选取1人，共有30种不同的选法，其
中女生有( )
A．2人或3人 B．3人或4人C．3人 D．4人
【拔高】
1.某幢楼从二楼到三楼的楼梯共10级，上楼可以一步上一级，也可以一步上两级，若规定
从二楼到三楼用8步走完，则方法有( )
A．45种
B．36种 C．28种
D．25种
2.某公司招聘来8名员工，平均分配给下属的甲、乙两个部门，其中两名英语翻译人员不能
分在同一个部门，另外三名电脑编程人员也不能全分在同一个部门，则不同的分配方案共有( )
A．24种
B．36种 C．38种
D．108种
五、课程小结
排列组合问题千变万化，解法灵活，条件隐晦，思维抽象，难以找到解题的突破口。因而在求解排列组合应用题时，除做到：排列组合分清，加乘原理辩明，避免重复遗漏外，还应注意积累排列组合问题得以快速准确求解。
六、课后作业
【基础】
1.由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是( )
A．72
B．96 C．108
D．144
2.如果在一周内(周一至周日)安排三所学校的学生参观某展览馆，每天最多只安排一所学校，
要求甲学校连续参观两天，其余学校均只参观一天，那么不同的安排方法有( )
A．50种
B．60种 C．120种
D．210种
【巩固】1安排7位工作人员在5月1日到5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二
人都不能安排在5月1日和2日，不同的安排方法共有________种．(用数字作答) 2.今有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有________种不同的排法．(用数字作答)
【拔高】
1.将标号为1，2，3，4，5，6的6张卡片放入3个不同的信封中．若每个信封放2张，其
中标号为1，2的卡片放入同一信封，则不同的方法共有
（A）12种 （B）18种 （C）36种 （D）54种
2.某单位安排7位员工在10月1日至7日值班，每天1人，每人值班1天，若7位员工中
的甲、乙排在相邻两天，丙不排在10月1日，丁不排在10月7日，则不同的安排方案共有 A. 504种 B. 960种 C. 1008种 D. 1108种
补充几类典型题：
标号排位问题（不配对问题）把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排
入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成.
【例1】将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格里，每格填一个数，则每个
方格的标号与所填数字均不相同的填法有（ ）
A、6种 B、9种 C、11种 D、23种
高☆考♂资♀源