第六章 万有引力与航天 1、开普勒行星运动定律
(1).所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆,太阳处在椭圆的一个焦点上. (2).对任意一个行星来说,它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积.
a3(3).所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等. 2?K
T（K只与中心天体质量M有关）
r3?K2T行星轨道视为圆处理，开三变成（K只与中心天体质量M有关）
2、万有引力定律：自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体质量
的乘积成正比，跟它们距离的二次方成反比。 表达式：F?Gm1m2,G?6.67?10?11N?m2/kg2 2r适用于两个质点（两个天体）、一个质点和一个均匀球（卫星和地球）、两个均匀球。 (质量均匀分布的球可以看作质量在球心的质点) 3、万有引力定律的应用：
（天体质量M, 卫星质量m，天体半径R, 轨道半径r，天体表面重力加速度g ，卫星运行向心加速度
an，卫星运行周期T)
两种基本思路：
1．万有引力=向心力 (一个天体绕另一个天体作圆周运动时，r=R+h )
22MmV4?2 G?m?m?(R?hm)?2(R?h)22(R?h)(R?h)T
人造地球卫星（只讨论绕地球做匀速圆周运动的人造卫星r=R+h）：
GMGM4?2r3，r越大，v越小；??，r越大，?越小；T?，r越大，Tv?rGMr3an?GMr2，r越大，an越小。
越大；
(1)用万有引力定律求中心星球的质量和密度 MmgR2求质量：①天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力：mg = G2→M?
RG②当一个星球绕另一个星球做匀速圆周运动时，设中心星球质量为M，半径为R，环绕
星球质量为m，线速度为v，公转周期为T，两星球相距r，由万有引力定律有：
GMmmv2v2r4?2r3?2??，可得出中心天体的质量： M????mr??22GGTrr?T?2??求密度
MM?V4?R3/3
2．在天体表面任意放一物体重力近似等于万有引力 （重力是万有引力的一个分力） 地面物体的重力加速度：mg = GMmM g = G9.8m/s2 ≈R2R2MmM2 g = G<9.8m/s 22(R?h)?R?h?高空物体的重力加速度：mg = G
3、万有引力和重力的关系: 一般的星球都在不停地自转，星球表面的物体随星球自转需要
向心力，因此星球表面上的物体所受的万有引力有两个作用效果：一个是重力，一个是向心力。星球表面的物体所受的万有引力的一个分力是重力，另一个分力是使该物体随星球自转所需的向心力 4、第一宇宙速度: ----在地球表面附近(轨道半径可视为地球半径)绕地球作圆周运动的卫星的线速度,在所有圆周运动的卫星中是最大的运行速度,是最小的发射速度.
''Mmv2Mm'卫星贴近地球表面飞行G2?m地球表面任意放一物体 m：G2?mg
RRRGM ?V??RgR2 =gR=7.9km/s R7.9×103m/s称为第一宇宙速度；11.2×103m/s称为第二宇宙速度；16.7×103m/s称为第三宇宙速度。
4．近地卫星。近地卫星的轨道半径r可以近似地认为等于地球半径R，又因为地面附近
g?GM，所以有
v?R2gR?7.9?103m/s,T?2?R?5.1?103s?85min。它们分别是绕g地球做匀速圆周运动的人造卫星的最大线速度和最小周期。 ⑶同步卫星。“同步”的含义就是和地球保持相对静止（又叫静止轨道卫星），所以其周期等于地球自转周期，既T=24h，根据⑴可知其轨道半径是唯一确定的，经过计算可求得同步卫星（三万六千千米），而且该轨道必须在地球赤道的正上方，卫星的
通讯卫星（又称同步卫星）相对于地面静止不动，其圆轨道位于赤道上空运转方向必须是由西向东。其周期与地球自转周期相同（一天），其轨道半径是一个定值。离地面的高度为h=3.6×107m≈5.6R地
5．卫星在发射时加速升高和返回减速的过程中，均发生超重现象，进入圆周运动轨道后，发生完全失重现象，一切在地面依靠重力才能完成的实验都无法做 6．经典力学的局限性
牛顿运动定律只适用于解决宏观、低速问题，不适用于高速运动问题，不适用于微观世界。
2011年真题演练
1. (11年四川理综17题)据报道，天文学家近日发现了一颗距地球40光年的“超级地球”，名为“55Cancrie”该行星绕母星（中心天体）运行的周期约为地球绕太阳运行周期的
1，480母星的体积约为太阳的60倍。假设母星与太阳密度相同，“55 Cancri e”与地球做匀速圆周运动，则“55 Cancri e”与地球的（ ）
A.轨道半径之比约为36060 B. 轨道半径之比约为34804802
2. （11年全国卷二19题）我国“嫦娥一号”探月卫星发射后，先在“24小时轨道”上绕地球运行（即绕地球一圈需要24小时）；然后，经过两次变轨依次到达“48小时轨道”和“72小时轨道”；最后奔向月球。如果按圆形轨道计算，并忽略卫星质量的变化，则在每次变轨完成后与变轨前相比， （ ）
A．卫星动能增大，引力势能减小B．卫星动能增大，引力势能增大 C．卫星动能减小，引力势能减小 D．卫星动能减小，引力势能增大
3. （11年福建理综13题）“嫦娥二号”是我国月球探测第二期工程的先导星。若测得“嫦娥二号”在月球（可视为密度均匀的球体）表面附近圆形轨道运行的周期T，已知引力常数G，半径为R的球体体积公式V?3?R3，则可估算月球的（ ） 4A.密度 B.质量 C.半径 D.自转周期
4. （（11年江苏物理7题）一行星绕恒星作圆周运动。由天文观测可得，其运动周期为T，速度为v，引力常量为G，则（ ）
v3T4?2v3A．恒星的质量为 B．行星的质量为 22?GGTvT2?vC．行星运动的轨道半径为 D．行星运动的加速度为
2?T5. （11年浙江理综19题）为了探测X星球，载着登陆舱的探测飞船在该星球中心为圆心，半径为r1的圆轨道上运动，周期为T1，总质量为m1。随后登陆舱脱离飞船，变轨到离星球更近的半径为r2 的圆轨道上运动，此时登陆舱的质量为m2则（ ）
4?2r1A. X星球的质量为M=
T124?2r1B. X星球表面的重力加速度为gx=
T12C. 登陆舱在r1与r2轨道上运动是的速度大小之比为
v1m1r2 =v2m2r1r23D. 登陆舱在半径为r2轨道上做圆周运动的周期为T2?T13 r16. （11年北京15题）由于通讯和广播等方面的需要，许多国家发射了地球同步轨道卫星，
这些卫星的
A．质量可以不同 B．轨道半径可以不同 C．轨道平面可以不同 D．速率可以不同
7. （11年广东理综20题）已知地球质量为M，半径为R，自转周期为T，地球同步卫星质量为m，引力常量为G。有关同步卫星，下列表述正确的是
3A.卫星距离地面的高度为
GMT2 24?Mm R2B.卫星的运行速度小于第一宇宙速度 C.卫星运行时受到的向心力大小为GD.卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
8. （11年山东理综17题）甲、乙为两颗地球卫星，其中甲为地球同步卫星，乙的运行高度低于甲的运行高度，两卫星轨道均可视为圆轨道。以下判断正确的是（ ） A.甲的周期大于乙的周期 B.乙的速度大于第一宇宙速度 C.甲的加速度小于乙的加速度 D.甲在运行时能经过北极的正上方
9. （11年天津理综8题）．质量为m的探月航天器在接近月球表面的轨道上飞行，其运动视为匀速圆周运动。已知月球质量为M，月球半径为R，月球表面重力加速度为g，引力常量为G，不考虑月球自转的影响，则航天器的（ ） A．线速度v?GM B．角速度w?gR RGmR D．向心加速度a?2
RgC．运行周期T?2?10. （11年新课标卷19题）卫星电话信号需要通地球同步卫星传送。如果你与同学在地面上用卫星电话通话，则从你发出信号至对方接收到信号所需最短时间最接近于（可能用到的数据：月球绕地球运动的轨道半径约为3.8×10m/s） A.0.1s B.0.25s C.0.5s D.1s
11. （11年上海物理22题）人造地球卫星在运行过程中由于受到微小的阻力，轨道半径将缓慢减小。在此运动过程中，卫星所受万有引力大小将 (填“减小”或“增大”)；其动能将 (填“减小”或“增大”)。 12. （11年安徽理综22题）（14分）
（1）开普勒行星运动第三定律指出：行星绕太阳运动的椭圆轨道的半长轴a的三次方与它
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a3的公转周期T的二次方成正比，即2?k，k是一个对所有行星都相同的常量。将行星绕
T太阳的运动按圆周运动处理，请你推导出太阳系中该常量k的表达式。已知引力常量为G，太阳的质量为M太。
（2）开普勒定律不仅适用于太阳系，它对一切具有中心天体的引力系统（如地月系统）都成立。经测定月地距离为3.84×10m，月球绕地球运动的周期为2.36×10S，试计算地球的
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质M地。（G=6.67×10Nm/kg，结果保留一位有效数字）
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2000-2008年高考试题分类汇编：万有引力与航天
选择题
1、（08全国卷1）17.已知太阳到地球与地球到月球的距离的比值约为390，月球绕地球旋转的周期约为27天.利用上述数据以及日常的天文知识，可估算出太阳对月球与地球对月球的万有引力的比值约为
A.0.2 B.2 C.20 D.200 答案：B
解析：设太阳质量M，地球质量m，月球质量m0，日地间距离为R，月地间距离为r，日月之间距离近似等于R，地球绕太阳的周期为T约为360天，月球绕地球的周期为t=27
Mm4π2Rmm0天。对地球绕着太阳转动，由万有引力定律：GR2=mT2，同理对月球绕着地球转动：Gr24π2rR3T2Mm0
=m0t2，则太阳质量与地球质量之比为M : m=r3t2；太阳对月球的万有引力F= GR2，地mm0Mr2
球对月球的万有引力f= Gr2，故F : f= mR2，带入太阳与地球质量比，计算出比值约为2，B对。
2、（08北京卷）17．据媒体报道,嫦娥一号卫星环月工作轨道为圆轨道,轨道高度200 km,运用周期127分钟。若还知道引力常量和月球平均半径,仅利用以上条件不能求出的是 ．．
A．月球表面的重力加速度 C．卫星绕月球运行的速度 答案：B
【解析】因为不知道卫星的质量，所以不能求出月球对卫星的吸引力。
3、（08四川卷）20．1990年4月25日，科学家将哈勃天文望远镜送上距地球表面约600 km的高空，使得 人类对宇宙中星体的观测与研究有了极大的进展。假设哈勃望远镜沿圆轨道绕地球运行。已知地球半径为6.4×106m，利用地球同步卫星与地球表面的距离为3.6×107m这一事实可得到哈勃望远镜绕地球运行的周期。以下数据中最接近其运行周期的是
A．0.6小时 B．1.6小时 C．4.0小时 D．24小时 答案：B
(r?h1)3?r?h2?R3?解析：由开普勒行星运动定律可知，2?恒量，所以，r为地球的2t12t2T3
B．月球对卫星的吸引力 D．卫星绕月运行的加速度
半径，h1、t1、h2、t2分别表示望远镜到地表的距离，望远镜的周期、同步卫星距地表的距离、同步卫星的周期（24h），代入数据得：t1=1.6h．