全国卷历年高考数列真题归类分析（含答案）
（10小3大，解析版）
一、等差、等比数列的基本运算（8小1大）
1.（2016年1卷3）已知等差数列?an?前9项的和为27,a10?8,则a100? （A）100 （B）99 （C）98 （D）97
【解析】由已知,??9a1?36d?27,所以a1??1,d?1,a100?a1?99d??1?99?98,选C.
a?9d?8?1
2．（2017年1卷4）记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4?a5?24，S6?48，则{an}的公差为
A．1
【解析】：S6?
B．2
C．4
D．8
?48?a1?a6?16a4?a5?a1?a8?24，
2，
作差a8?a6?8?2d?d?4故而选C.
，
3．（2017年3卷9）等差数列?an?的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则
6?a1?a6??an?前6项的和为（）
A．?24
B．?3
C．3
D．8
2?a2?a6，即【解析】∵?an?为等差数列，且a2,a3,a6成等比数列，设公差为d.则a3?a1?2d?
2??a1?d??a1?5d?，又∵a1?1，代入上式可得d2?2d?0，又∵d?0，则d??2
6?56?5d?1?6????2???24，故选A. ∴S6?6a1?224.（2017年2卷15）等差数列?an?的前项和为Sn，则a3?3，S4?10，
?Sk?1n1k? ．
?a1?2d?3?a1?1?【解析】设等差数列的首项为a1，公差为d，所以? ，解得? ，4?3d?14a1?d?10???2所以an?n,Sn?nn?1?n?121??1，那么 ，那么 ??2???2Snn?n?1??nn?1?1??1??11?1??1?2n?1? . ?21????......???21??????????????nn?1???n?1?n?1k?1Sk??2??23?
5.（2016年2卷17）Sn为等差数列?an?的前n项和，且a1?1，S7?28．记bn??lgan?，其中?x?表示不超过x的最大整数，如?0.9??0，?lg99??1． （Ⅰ）求b1，b11，b101；
（Ⅱ）求数列?bn?的前1000项和．
a4?a1?1， 3∴an?a1?(n?1)d?n．∴b1??lga1???lg1??0，b11??lga11???lg11??1，
【解析】⑴设?an?的公差为d，S7?7a4?28，∴a4?4，∴d?b101??lga101???lg101??2．
⑵记?bn?的前n项和为Tn，则T1000?b1?b2?????b1000??lga1???lga2???????lga1000?．
当0≤lgan?1时，n?1，2，???，9； 当1≤lgan?2时，n?10，11，???，99；
当2≤lgan?3时，n?100，101，???，999； 当lgan?3时，n?1000．
∴T1000?0?9?1?90?2?900?3?1?1893．
6.（2017年2卷3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）
A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏
【解析】塔的顶层共有灯x盏，则各层的灯数构成一个公比为2的等比数列，由
x?1?27?1?2
?381可得x?3，故选B.
7.（2015年2卷4）等比数列｛an｝满足a1=3，a1?a3?a5 =21，则a3?a5?a7? ( )
（A）21 （B）42 （C）63 （D）84
【解析】选B.设等比数列的公比为q,则a1+a1q2+a1q4=21, 又因为a1=3,所以q4+q2-6=0,解得q2=2,a3+a5+a7=(a1+a3+a5)q2=42.
8．（2017年3卷14）设等比数列?an?满足a1?a2??1，a1?a3??3，则a4?________．
??a1?a2??1?a1?a1q??1①q【解析】?an?为等比数列，设公比为．?，即?， 2a?a??3a?aq??3②??13?11显然q?1，a1?0，
3②得1?q?3，即q??2，代入①式可得a1?1， ①?a4?a1q3?1???2???8．
9.（2016年1卷15）设等比数列?an?满足a1+a3=10,a2+a4=5,则a1a2 …an的最大值为 ．
?a1?82?a1?a3?10???a1(1?q)?10【解析】：设等比数列的公比为q,由?得,?,解得?1.所以2a?a?5q???24??a1q(1?q)?5?2a1a2an?aqn1?2??(n?1)117?n2?n1n(n2?1)22,于是当n?3或4时,a1a2?8?()?22nan取得最
大值26?64.
二、其他数列（可转化为等差等比，2小2大）
10.（2015年2卷16）设Sn是数列?an?的前n项和，且a1??1，an?1?SnSn?1，则
Sn?________．
【解析】由已知得an?1?Sn?1?Sn?Sn?1?Sn，两边同时除以Sn?1?Sn，得
11???1，Sn?1Sn故数列??1?1?1?1是以为首项，为公差的等差数列，则??1?(n?1)??n，所以?Sn?Sn?Sn??
1． n211．（2015年1卷17）Sn为数列{an}的前n项和.已知an＞0，an?an=4Sn?3.
（Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）设bn?
1 ,求数列{bn}的前n项和. anan?12【解析】（Ⅰ）当n?1时，a1?2a1?4S1?3?4a1+3，因为an?0，所以a1=3， 22当n?2时，an==， ?an?an?1?an?14Sn?3?4Sn?1?34an即(an?an?1)(an?an?1)?2(an?an?1)，因为an?0，所以an?an?1=2， 所以数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，所以an=2n?1； （Ⅱ）由（Ⅰ）知，bn=
1111?(?)，
(2n?1)(2n?3)22n?12n?311111?bn=[(?)?(?)?23557?(11?)] 2n?12n?3所以数列{bn}前n项和为b1?b2?=
11?. 64n?6
12.（2016年3卷17）已知数列{an}的前n项和Sn=1+λan,其中λ≠0. (1)证明{an}是等比数列,并求其通项公式.
(2)若S5=
31,求λ. 321
, 1?λ
an?1λ=, anλ?1n?1【解析】(1)由题意得a1=S1=1+λa1,故a1=
由Sn=1+λan,Sn+1=1+λan+1得an+1=λan+1-λan,所以
1λ1?λ?因此数列?an?是以a1=为首项,以为公比的等比数列,an=??1?λ?λ?1?1?λλ?1
?λ?31(2)由(1)得Sn=1-?, ?,又因为S5=32?λ?1??λ??λ?311所以=1-?,解得λ=-1. ?,即??=λ?1λ?13232????55n.
13．（2017年1卷12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件。为激发大
家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推。求满足如下条件的最小整数N：N>100且该数列的前N项和为2的整数幂。那么该款软件的激活码是 A．440 B．330 C．220 D．110
【解析】：将已知的数列列举成行列式的形式，
20
第一行，1个数，求和为2?1
12021 202122 20212223 2021222324
第二行，2个数，求和为2?1
342 第三行，3个数，求和为2?1
5 第四行，4个数，求和为2?1
n 第五行，5个数，求和为2?1
故而可得， 第n行，n个数，求和为2?1， 因此前n行，一共有设N=
n?n?1?2个数，求和为Tn?2n?1?n?2
n(1?n)?k，?0?k?n?，由N>100，得n?13 2因为SN?Tn?2k?1?2n?1?2k??n?3?和为2的整数幂，故2k??n?3??0，
13(1?13)?4?95不合题意， k?log2?n?3?，当n?13时，k?4，N?229(1?29)?5?440，故而选A。 当n?29时，k?5，N?2