第4讲 直线、圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系
位置关系有三种：相离、相切、相交． 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： Δ＞0?相交；?判别式Δ＝0?相切；2→(1)代数法：Δ＝―b―－4ac?
?Δ＜0?相离.
(2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：d＜r?相交，d＝r?相切，d＞r?相离． 2．圆与圆的位置关系的判定
2
设⊙C1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r1(r1＞0)， 2⊙C2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r2(r2＞0)，则有：
|C1C2|＞r1＋r2?⊙C1与⊙C2相离； |C1C2|＝r1＋r2?⊙C1与⊙C2外切； |r1－r2|＜|C1C2|＜r1＋r2?⊙C1与⊙C2相交； |C1C2|＝|r1－r2|(r1≠r2)?⊙C1与⊙C2内切； |C1C2|＜|r1－r2|?⊙C1与⊙C2内含． 一条规律
过圆外一点M可以作两条直线与圆相切，其直线方程可用待定系数法，再利用圆心到切线的距离等于半径列出关系式求出切线的斜率即可． 一个指导
直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方法的结合，“代数法”与“几何法”是从不同的方面和思路来判断的，“代数法”侧重于“数”，更多倾向于“坐标”与“方程”；而“几何法”则侧重于“形”，利用了图形的性质．解题时应根据具体条件选取合适的方法． 两种方法
计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法
运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．
1
(2)代数方法
运用根与系数关系及弦长公式 |AB|＝1＋k2|xA－xB| ＝?1＋k2?[?xA＋xB?2－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法．
1．(人教A版教材习题改编)已知圆(x－1)2＋(y＋2)2＝6与直线2x＋y－5＝0的位置关系是( )． A．相切 C．相交过圆心
B．相交但直线不过圆心 D．相离
2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( )． A．x＋3y－2＝0 C．x－3y＋4＝0
B．x＋3y－4＝0 D．x－3y＋2＝0
3．(2011·安徽)若直线3x＋y＋a＝0过圆x2＋y2＋2x－4y＝0的圆心，则a的值为
( )．
A．－1 B．1 C．3 D．－3
4．(2012·东北三校联考)圆O1：x2＋y2－2x＝0和圆O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是( )．
A．相离 B．相交 C．外切 D．内切
5．(2012·沈阳月考)直线x－2y＋5＝0与圆x2＋y2＝8相交于A、B两点，则|AB|＝________.
考点一 直线与圆的位置关系的判定及应用
6(2011·东莞模拟)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为( )． A．[－3，3] ?33?C.?－，?
3??3
B．(－3，3) ?33?
D.?－，?
3??3
已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直
线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．
7(2011·江西)若曲线C1：x2＋y2－2x＝0与曲线C2：y(y－mx－m)＝0有四个不同的交点，则实数m的取值范围是( )．
2
?33?A.?－，?
3??3
?33?
C.?－，?
3??3
?3??3?
B.?－，0?∪?0，?
3??3????3??3
D.?－∞，－?∪?，＋∞?
3??3??
考点二 圆与圆的位置关系的判定及应用
8若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.
当两圆相交时求其公共弦所在的直线方程或是公共弦长，只要把两圆
方程相减消掉二次项所得方程就是公共弦所在的直线方程，再根据其中一个圆和这条直线就可以求出公共弦长．
9 (2011·济南模拟)两个圆：C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有( )． A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
考点三 直线与圆的综合问题
10(2012·福州调研)已知⊙M：x2＋(y－2)2＝1，Q是x轴上的动点，QA，QB分别切⊙M于A，B两点．
42
(1)若|AB|＝3，求|MQ|、Q点的坐标以及直线MQ的方程； (2)求证：直线AB恒过定点．
在解决直线与圆的位置关系时要充分考虑平面几何知识的运用，如在
直线与圆相交的有关线段长度计算中，要把圆的半径、圆心到直线的距离、直线被圆截得的线段长度放在一起综合考虑，不要单纯依靠代数计算，这样既简单又不容易出错．
11 已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程． 一、圆与集合的交汇
???m?12 (2011·江苏)A＝?x，y??2
???
≤?x－2?＋y≤m
2
2
2
??
，x，y∈R?，B＝{(x，y)|2m≤x＋
??
y≤2m＋1，x，y∈R}．若A∩B≠?，则实数m的取值范围是________． 、圆与概率的交汇
3
13(2011·湖南)已知圆C：x2＋y2＝12，直线l：4x＋3y＝25. (1)圆C的圆心到直线l的距离为________；
(2)圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率为________． 三、圆与圆锥曲线交汇
14(2010·陕西)已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线与圆(x－3)2＋y2＝16相切，则p的值为( )．
A.1
2 B．1 C．2 D．4
4
1B2D3B4B5 236C7B8 19B12 13
14 2
2
10 (1)解 设直线MQ交AB于点P，则|AP|＝32，又|AM|＝1，AP⊥MQ，AM⊥AQ，得|MP|＝
8112－9＝3，
|MA|2
又∵|MQ|＝|MP|，∴|MQ|＝3.
设Q(x,0)，而点M(0,2)，由x2＋22＝3，得x＝±5， 则Q点的坐标为(5，0)或(－5，0)．
从而直线MQ的方程为2x＋5y－25＝0或2x－5y＋25＝0.
(2)证明 设点Q(q,0)，由几何性质，可知A、B两点在以QM为直径的圆上，此圆的方程为x(x－q)＋y(y－2)＝0，而线段AB是此圆与已知圆的公共弦，即为qx3??
－2y＋3＝0，所以直线AB恒过定点?0，2?.
??11解
(1)如图所示，|AB|＝43，设D是线段AB的中点，则CD⊥AB， ∴|AD|＝23，|AC|＝4.C点坐标为(－2,6)．在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 设所求直线l的斜率为k，则直线l的方程为：y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. |－2k－6＋5|3
由点C到直线AB的距离公式：2＝2，得k＝
4.又直线l的斜率不存在k＋?－1?2时，也满足题意，此时方程为x＝0. 3
当k＝4时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0. ∴所求直线l的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0.
(2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD， →·→＝0，∴(x＋2，y－6)·即CDPD(x，y－5)＝0， 化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0.
5