（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方
形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究：
（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边
形ABCM的边AB上的一个强相似点，试探究AB和BC的数量关系．
密云县2013——2014学年度第一学期期末考试
初三数学试卷评分参考答案
一、选择题
1D 2B 3A 4C 5C 6D 7B 8A 二、填空题
9.8:5， 10.20 11.2? 12. 4，22n?5??
3三、解答题(每小题5分,共40分)
13．sin30°cos60?－cos30°·tan60°
113????3 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -- - - - - - 4分 2225??.- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 5分 414．∵∠ACB=90?, CD?AB,
∴?ADC??ACB?90? ………………………… …2分 ?A??A
?ACD?ABC ………………………3分
C∴AC?AD,… …………………………………4分
ABACADB?AC2?AD?AB …………5分 ?DEF??DCB?90?15. ?D??D?DEF?DCB DEEF? DCCBDE?0.4,EF?0.2,CD?8 ?CB?4AC?1.5 ?AB?5.5即树高为5.5米。
16．连结OA. ………………………………………………1分
∵OC⊥AB于点C，
∴AC?1AB?4. ………………3分
2OACBOA=5
?OC=3………………5分
即O与AB的距离为 3cm.
17．（1）顶点坐标：(2,1)
对称轴：x=2……………………………1分 （2） (1,0) (3,0) ……………………………1分
（3）当x<1,x>3时，y>0；当1 （4）作图正确2分. 18． ……………………….2分 ……………………….5分 19.(1) 从树状图可看出小明和小亮抽得的数字之和可能有是：2，3，4，5，6；……3分 （2）因为和为偶数有5次，和为奇数有4次，所以P（小明胜）=，P（小亮胜）=， 所以：此游戏对双方不公平．………5分. 20.过C作CD⊥AB于D，………………1分 在Rt△ACD中， ∵AC=10，∠A=30°， ∴DC=ACsin30°=5， ………………2分 AD=ACcos30°=5，………………3分 在Rt△BCD中， ∵∠B=45°， ∴BD=CD=5， BC=5，………………4分 则用AC+BC﹣（AD+BD）=10+5﹣（5+5）=5+5﹣5（千米）． 答：汽车从A地到B地比原来少走（5+5﹣5）千米．………………5分 21． （1）证明：∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠1=∠2， ∵∠ADE=∠1+∠B，∠DAE=∠2+∠3，且∠B=∠3， ∴∠ADE=∠DAE， ∴ED=EA， ∵ED为⊙O直径， ∴∠DFE=90°， ∴EF⊥AD， ∴点F是AD的中点；………………2分 （2）解：连接DM， 设EF=4k，df=3k， 则ED==5k， ∵AD?EF=AE?DM， ∴DM== = k， ∴ME==k， ∴cos∠AED= =；………………4分 （3）解：∵∠B=∠3，∠AEC为公共角， ∴△AEC∽△BEA， ∴AE：BE=CE：AE， ∴AE2 =CE?BE， ∴（5k）2 =k?（10+5k）， ∵k＞0， ∴k=2， ∴CD=k=5．………………6分 22．（1）对角互补（对角之和等于180?）………2分 (2) 图1中，?B+?D<180? ………3分 [] 图2中，?B+?D>180? ………4分 过四边形的四个顶点能作一个圆的条件是 对角互补（对角之和等于180?） 五、解答题（23题6分，24题7分，25题7分） 23．（1）解方程x2 +4x﹣5=0，得x=﹣5或x=1， 由于x1＜x2，则有x1=﹣5，x2=1，∴A（﹣5，0），B（1，0）． 抛物线的解析式为：y=a（x+5）（x﹣1）（a＞0）， ∴对称轴为直线x=2，顶点D的坐标为（﹣2，﹣9a）， 令x=0，得y=﹣5a， ∴C点的坐标为（0，﹣5a）． 依题意画出图形，如右图所示，则OA=5，OB=1，AB=6，OC=5a，过点D作DE⊥y轴于点E，则DE=2，OE=9a，CE=OE﹣OC=4a． S△ACD=S梯形ADEO﹣S△CDE﹣S△AOC =（DE+OA）?OE﹣DE?CE﹣OA?OC =（2+5）?9a﹣×2×4a﹣×5×5a =15a， 而S△ABC=AB?OC=×6×5a=15a， ∴S△ABC：S△ACD=15a：15a=1； ……3分 （2）如解答图所示， 在Rt△DCE中，由勾股定理得：CD2=DE2+CE2=4+16a2 ， 在Rt△AOC中，由勾股定理得：AC2=OA2+OC2=25+25a2 ， 设对称轴x=2与x轴交于点F，则AF=3， 在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2=AF2+DF2=9+81a2 ． AADooDBCFBEF图1E图2C ∵∠ADC=90°，∴△ACD为直角三角形， 由勾股定理得：AD2+CD2=AC2 ， 即（9+81a2）+（4+16a2）=25+25a2 ，化简得：a2=， ∵a＞0， ∴a= ， ∴抛物线的解析式为：y=（x+5）（x﹣1）= x2 + x﹣ ．……7分 ……………….3分 ……………….7分 25. （1）点E是四边形ABCD的边AB上的相似点． 理由：∵∠A=55°， ∴∠ADE+∠DEA=125°． ∵∠DEC=55°， ∴∠BEC+∠DEA=125°． ∴∠ADE=∠BEC．（2分） ∵∠A=∠B， ∴△ADE∽△BEC． ∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．………………3分 （2）作图如下：[ ………………5分 （3）∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM，