数学分析-2样题(一)
1.(4分) 级数?un收敛的必要条件是 limun?0;
n?1n???2. (4分) 级数?(?1)n?1?n?11n32为（ A ）.
A.绝对收敛; B. 条件收敛; C.发散; D. 收敛性不确定. 3. (4分) 幂级数?(?1)n?1?n?13nxn的收敛半径为( D ). n11A. R?2; B.R?; C.R?3; D.R?.
23一.(各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1. ?xarctanx?dx 3. ?ln20
b?x2. ?edx
e?1dx
x
4. ??0xsinxdx 21?cosx二.(10分)设f(x)是上的非负连续函数, ?f(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).
a三. (10分)证明?2?0sinxdx?0. x?n?0四. (15分)证明函数级数?(1?x)xn在不一致收敛, 在[0,?](其中)一致收敛.
???x,????????x?0五. (10分)将函数f(x)??展成傅立叶级数.
???x,??????0?x??1?22xysin,??????x?y?0?22x?y六. (10分)设f(x,y)??
?22???????????0,???????????????????x?y?0证明: (1) fx?(0,0), fy?(0,0)存在;
(2) fx?(x,y),fy?(x,y)在(0,0)不连续; (3) f(x,y)在(0,0)可微.
七. (10分)用钢板制造容积为V的无盖长方形水箱,怎样选择水箱的长、宽、高才最省钢板?
八. (15分)设0???1, 证明?11. ???n?1n(n?1)?数学分析-2样题(二)
一. (各5分,共20分)求下列不定积分与定积分: 1.?a2?x2dx???(a?0) 3. ?arcsinx??dx
0117
2. ?
x?xx?x87121514dx
4. ?100?01?cos2xdx
二. (各5分,共10分)求下列数列与函数极限: 1. lim?n 22n??k?1n?kn 2. limxx?01?ex?x0etdt
2三.(10分)设函数在[a,b]连续,对任意[a,b]上的连续函数g(x), g(a)?g(b)?0,有
?baf(x)g(x)dx?0.证明f(x)?0 (x?[a,b]).
四. (15分)定义[0,1]上的函数列
1?22nx,?????????????????????x??2n?11?fn(x)??2n??2n2x?????????????x?
2nn?1?????????????????????????????x?1?n?证明{fn(x)}在[0,1]不一致收敛. 五. (10分)求幂级数?(n?1)xn的和函数.
n?0?六. (10分)用???定义证明
(x,y)?(2,1)lim(4x2?3y)?19.
七. (12分)求函数u?(2ax?x2)(2by?y2)??(ab?0)的极值.
八. (13分)设正项级数?an收敛,且an?an?1???(n?N?).证明limnan?0.
n?1n???B4． 4．若?an(x?1)n在x??1处收敛，则此级数在x?2处（
n?1? ）．
A． 条件收敛 B． 绝对收敛 C． 发散 D． 敛散性不能确定
?xn(?1)nxn?1?x4. 已知e??，则求xe? ?
n!n?0n!n?0x?5．
(?1)n(x?1)n的收敛域. (7分) 求幂级数?nn?1?6．
(7分) 将f(x)?1展开为麦克劳林级数. 22?x?x??11?11??2分 ???22?x?x3?1?x?x??2?1????2???? ?11 3分 ?3?1?x?6(1?x)21?n1??x???x??(?1)n??5分 3n?06n?0?2?1??1????1?(?1)nn?1?xn6分 3n?0?2?-1 1展开成x?3的幂级数，并求收敛域。 xn4. （本小题满分7分）将f(x)? 解：f(x)?因为 ?(?1)n?0?n1=1?1, ( 2x?33?(x?3)31?()3分) xn?1，x?(?1,1),所以1?x1?3?11x?3n??(?1)n?()x?3331?()n?03=?(?1)n?0?n1()n?1(x?3)n,其中3?1?x?3?1 ，即0?x?6.( 53?分) ?1当x?0时，级数为?发散；当x?6时，级数为?(?1)n?13n?03n?0发散,故1x （ ４ =?(?1)n?0?） 1()n?1(x?3)n，x?(0,6)， ( 7分) 3f(x)[a,b]设在上可积 n，则 有 ．．．．．．．．．．．.．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ D ] Ａ．f(x)在[a,b]上必定连续； Ｂ．f(x)在[a,b]上至多只有有限个间断点； Ｃ．f(x)的间断点不能处处稠密； Ｄ．f(x)在[a,b]上的连续点必定处处稠密． （５）设 ?un为一正项级数．这时有 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．[ D ] n?1?Ａ．若limun?0,则 ?un?收敛； Ｂ．若 ?un?收敛，则 n??n?1limun?1n??u?1； n?C．若 ?un收敛，则nun?1； n?1nlim?? n?1Ｄ．以上Ａ、Ｂ、Ｃ都不一定成立．