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朝阳区2009～2010学年度高三年级第二学期统一考试（一）
数学测试（文史类）答案 2010.4
一、选择题 （1） C (2) A （3） B （4） B （5） C （6） B （7） A （8） D
二、填空题 题号 （9） 答案 （10） 2 （11） 55 （12） （13） （14） 1 23π 2? 32n?1 10
三、解答题
（15） （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）因为C?35?，sinA?， 452所以cosA?1?sinA?由已知得B?25. 5?4?A. ?A)?sin则sinB?sin(?4?4cosA?cos?4sinA
?
2252510. ??????????????7分????252510
ba10?，根据正弦定理,得a?2b. sinBsinA10（Ⅱ）由（Ⅰ）知sinB?又因为a?b?22，所以a?2，b?2 . ?????????????13分
（16） （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）ab，ac，ad，ae, bc，bd，be，cd，ce，de. ?????????3分
(Ⅱ) 记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，
则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae, bc，bd，be，共6个基本事件.
所以P(A)?6?0.6. 10答：恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6. ????????????8分
(Ⅲ)记“至少摸出1个黑球”为事件B，则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae, bc，bd，be，共7个基本事件，
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所以P(B)?7?0.7. 10答：至少摸出1个黑球的概率为0.7 . ??????????????13分 （17）（本小题满分13分） 证明：（Ⅰ）设AB1和A1B的交点为O,连接EO，连接OD.
因为O为AB1的中点，D为AB的中点，所以OD∥BB1且OD?又E是CC1中点， 则EC∥BB1且EC?1BB1. 21BB1,即EC∥OD且EC?OD， 2则四边形ECOD为平行四边形.所以EO∥CD.
又CD?平面A1BE,EO?平面A1BE，则CD∥平面A1BE. ?????7分 (Ⅱ) 因为三棱柱各侧面都是正方形，所以BB1?AB，BB1?BC， 所以BB1?平面ABC.
A1 因为CD?平面ABC，所以BB1?CD. 由已知得AB?BC?AC，所以CD?AB. 所以CD?平面A1ABB1.
由（Ⅰ）可知EO∥CD，所以EO?平面A1ABB1. 所以EO?AB1.
因为侧面是正方形，所以AB1?A1B.
又EO?A1B?O，EO?平面A1EB,A1B?平面A1EB,
所以AB1?平面A1BE. ????????????????????13分 （18）（本小题满分14分）
2解：（Ⅰ）f?(x)=3mx?6x?3.
C1 B1 O E A D B C 因为函数f(x)在x??1处取得极值，所以f?(?1)?0，解得m?3.
322于是函数f(x)?3x?3x?3x，f(1)?3,f?(x)?9x?6x?3.
函数f(x)在点M(1,3)处的切线的斜率k?f?(1)?12，
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则f(x)在点M处的切线方程为12x?y?9?0. ??????????6分 （Ⅱ）当m?0时，f?(x)?3mx2?6x?3是开口向下的抛物线，要使f?(x)在(2, ??)上
?m?0, ?m?0,?1???≥2,?1存在子区间使f?(x)?0，应满足?m或???2,
??m1?f?(?)?0,??f?(2)?0.m?解得?131?3?≤m?0，或??m??，所以m的取值范围是??, 0?．??14分 242?4?
(19）（本小题满分13分）
9?1??a24b2?1,?x2y2解：（Ⅰ）设椭圆C的方程为2?2?1(a?b?0)，由题意得?c1
?,ab?a2?222?a?b?c.x2y2??1． ????????5分 解得a?4，b?3，故椭圆C的方程为4322（Ⅱ）若存在直线l满足条件，由题意可设直线l的方程为y?k(x?2)?1，
?x2y2?1,??222由?4得(3?4k)x?8k(2k?1)x?16k?16k?8?0. 3?y?k(x?2)?1,?因为直线l与椭圆C相交于不同的两点A,B，设A,B两点的坐标分别为
(x1,y1),(x2,y2)，
所以??[?8k(2k?1)]?4?(3?4k)?(16k?16k?8)?0. 整理得32(6k?3)?0. 解得k??2221． 28k(2k?1)16k2?16k?8又x1?x2?，x1x2?，
3?4k23?4k2一对一辅导 www.peiyouedu.cn
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?????????????25且PA?PB?PM，即(x1?2)(x2?2)?(y1?1)(y2?1)?，
455222所以 (x1?2)(x2?2)(1?k)?|PM|?. 即 [x1x2?2(x1?x2)?4](1?k)?.
44116k2?16k?88k(2k?1)4?4k252k???2?4](1?k)??所以 [，解得. 22223?4k3?4k3?4k4所以k?11．于是存在直线l满足条件，其的方程为y?x. ??????13分 22aaa（20）（本小题满分14分）
n?1n?2解：（Ⅰ）证明：因为xnn?xn?1?xn?2，且数列{xn}中各项都是正数，
所以 anlgxn?an?1lgxn?1?an?2lgxn?2．
设anlgxn?an?1lgxn?1?an?2lgxn?2?p， ① 因为数列{an}是调和数列，故an?0，
211． ??an?1anan?2所以
2ppp． ② ??an?1anan?2ppp?lgxn, ?lgxn?1, ?lgxn?2， anan?1an?2由①得
2代入②式得 2lgxn?1?lgxn?lgxn?2，即 lgxn?1?lg(xnxn?2).
2故 xn?1?xnxn?2. 所以数列{xn}是等比数列． ????????????5分
（Ⅱ）设{xn}的公比为q，则x3q4?x7，即8q?128．由于xn?0，故q?2．
于是xn?x3qn?3?8?2n?3?2n． 注意到第n (n?1,2,3,?)行共有n个数，
所以三角形数表中第1行至第m?1行共含有1?2?3???(m?1)?4m(m?1)个数. 2m(m?1)m2?m?2?1?因此第m行第1个数是数列{xn}中的第项. 22故第m行第1个数是xm2?m?2?22m2?m?22，
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所以第m行各数的和为Sm?b?1b?1b?12m2?m?22(2?1)?22?1mm2?m?22(2m?1)． ????10分
（Ⅲ）由 41?42?43???4n即22[(b1?b2?b3???bn)?n]b?1?xnbn，得4(b1?b2?b3???bn)?n?(2n)bn，
?2nbn，所以2[(b1?b2???bn)?n]?nbn， ①
2[(b1?b2???bn?bn?1)?(n?1)]?(n?1)bn?1 ②
②—① 得 2bn?1?2?(n?1)bn?1?nbn， 即(n?1)bn?1?nbn?2?0， ③
nbn?2?(n?1)bn?1?2?0， ④
④-③ 得 nbn?2?2nbn?1?nbn?0，即bn?2?bn?2bn?1.
所以{bn}为等差数列． ??????????????????14分
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