疯狂专练19 平面向量
一、选择题（5分/题）
1．[2017·鞍山一中]向量a??2,?1?，b???1,2?，则2a?b?a?（ ） A．6 【答案】A
【解析】由向量数量积公式知，2a?b?a??3,0???2,?1??6，故选A． 2．[2017·济宁期末]已知向量a??1，2?，b??3，?4?，则a在b上的投影为（ ） A．5 【答案】D
【解析】向量a??1，2?，b??3，?4?，则a在b上的投影为：
B．?5 C．1
D．－1
B．5
C．1
D．－6
????a?bb?3?8??1，故选：D． 53．[2017·静海县一中]已知向量a??1,2?，a?b??4,5?，c??x,3?，若2a?b//c，则x?（ ） A．?1 【答案】C
【解析】向量a??1,2?，a?b??4,5?，c??x,3?，若2a?b//c，
则b?a?a?b??1,2???4,5????3,?3?，?2a?b?2?1,2????3,?3????1,1?，
B．?2
C．?3
D．?4
?????????2a?b?//c，?x??3，故选C．
4．[2017·梁集中学]已知a??1，?1?，b???，1?，a与b的夹角为钝角，则?的取值范围是（ ） A．??1
【答案】D
【解析】由题意可得：a?b???1?0，解得：??1，且：a与b的夹角不能为180?，即：
B．??1
D．???1或?1???1
C．
???1
?1，????1，据此可得：?的取值范围是???1或?1???1．本题选择D选项．
?1π5．[2017·文昌中学]已知单位向量a，b的夹角为，那么a?2b?（ ）
3?A．23 【答案】B 【解析】a?2b21B．7 C．27 D．43 ?a2?4b2?4a?b?1?4?4?1?1?1?7，得a?2b?7． 26．[2017·临汾中学]已知非零向量a，b满足2a?3b，a?2b?a?b，则a与b的夹角的余弦值为（ ） A．
2 3B．
3 4C．
1 3析
D．
1 4】
【答案】C 【
解
a?2b?a?b?a?2b???212b212a?b21?a?b?a?b?b?cos?a,b????，
2ab3b232?故选C．
a?b7．[2017·衡阳八中]向量a??2,3?，若mb???1,2?，
A．－2 【答案】D 【
解
析
】
B．2
与a?2b平行，则m等于（ ）
C．
1 2D．?1 2ma?b??2m?1,3m?2?，
a?2b??4,?1?，
1???2m?1??4?3m?2??m??，选D．
2?x≤1?8．[2017·太原五中]已知O是坐标原点，点A??1,1?，若点M?x,y?为平面区域?y≤2?x?y≥2?上一个动点，则OA?OM的最大值为（ ） A．3 【答案】B
【解析】由题意可得：OA???1,1?，OM??x,y?，?OM?ON??x?y，绘制不等式
B．2
C．1
D．0
组表示的可行域，结合目标函数的几何意义可得目标函数在点B?0,2?处取得最大值
z??x?y?2．本题选择B选项．
*9．[2017·正定中学]如图，已知点D为△ABC的边BC上一点，为Enn?NBD?3DC，
??边AC上的一列点，满足EnA?1an?1EnB??3an?2??EnD，其中实数列?an?中，an?0，4a1?1，则a5?（ ）
A．46 【答案】D 【
解
析
】
B．30
C．242
D．161
BD?3DC?BC?4BD3，
?EnC?EnB?BC?EnB?414BD??EnB?EnD， 33314设mEnC?EnA，?EnA??mEnB?mEnD，
331?1a??mn?1?1?43?an?1?3an?2， 又EnA?an?1EnB??3an?2?EnD，?4???3a?2??4mn?3? ?an?1?1?3?an?1?，又a1?1?2，?数列?an?1?表示首项为2，公比为3的等比数列，
?an?1?2?3n?1，?a5?161，故选D．
10．[2017·沙市中学]正方形ABCD边长为2，中心为O，直线l经过中心O，交AB于M，
交CD于N，P为平面上一点，且2OP??OB??1???OC，则PM?PN的最小值是（ ）
A．?3 4解
析
B．?1 C．?7 4可
得
D．?2
【答案】C 【
】
由
题
意
：
PM?PN?1?PM?PN?4????2222221?PM?PN??4PO?4NO?PO?NO，
??4???设2OP?OQ，则OQ??OB??1???OC，当Q在BC中点时，OQ最小，且OP2 ???1????1，?Q，B，C三点共线，
NO2max?2，据此：PM?PN??min1；当MN与BD重合时，NO最大，且
min417??2??，本题选择C选项． 44?x2y211．[2017·榆林二中]已知双曲线C:2?2?1?a?0,b?0?的左、右焦点分别为
ab?a2?F1??c,0?，F2?c,0?，A是双曲线的左顶点，P??,yP?在双曲线的一条渐近线上，M?c?为线段F1P的中点，且F1P?AM，则该双曲线C的渐近线为（ ） A．y??3x
【答案】A
B．y??2x D．y??5x
C
．
y??2x?a2ab?a2bab【解析】取渐近线为y?x，则当x??时，yP??，即点P坐标为?? ,??，
accc??c?ca2ab??a2?c2ab?∴点M坐标为???，??，即??，??．
2c2c??22c2c??
?a2?c2ab?1∴AM????a,?????a2?c2?2ac,ab?，
2c2c?2c??a2ab??c2?a2ab?bF1P????c，????，????b，?a?．
c??cc?c?c∵
F1P?AM，∴
F1P?AM?0，即
?b,?a???a2?c2?2ac,ab??b?a2?c2?2ac??a2b?0，
整理得c?2a，∴b?c?a?3a，∴渐近线方程为y??2222bx??3x．选A． a，
12．[2017·德州期中]已知向量a，b夹角为则tb?a?tb?πa≥ab?，b?2，对任意x?R，有b?x3a?t?R?的最小值是（ ） 2B．
A．13 23 2C．1?3 2D．7 2【答案】D
【解析】对任意
x?R，有
b?x≥a?a，b两边平方得
22x2?a??2xa?b???a??2a?b?≥0，
??则??4a?b??2222?4?a???a??2a?b?≤0，即有??a??a?b?≤0，即?a??a?b，则
????22?a?b??a，
∵向量a，b夹角为∴a?b?ππ2，b?2，∴?a??a?b?a?b?cos?a，∴a?1， 33??a?b?2?a??b2??2?2a?b?3，
设AO?a，AB?b，建立平面直角坐标系，如图所示：
则A?1，0?，B0，3，∴a??10，?，b?1，3，
????