高中数学教案 一元二次方程根的分布（第13课时） 王新敞
课 题：一元二次方程实根的分布 教学目的：
1．掌握用韦达定理解决含参二次方程的实根分布的基本方法 2．培养分类讨论、转化的能力，综合分析、解决问题的能力； 3．激发学习数学的热情，培养勇于探索的精神，勇于创新精神 教学重点：用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 教学难点：韦达定理的正确使用 授课类型：复习课
课时安排：1课时
教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 教学过程： 一、复习引入： 韦达定理：
b?x?x??2?12a 方程ax?bx?c?0（a?0）的二实根为x1、x2，则?c?x1x2?a? 二、讲解新课：
例1 当m取什么实数时，方程4x2+(m-2)x+(m-5)=0分别有: ①两个实根； ②一正根和一负根； ③正根绝对值大于负根绝对值；④两根都大于1. 解 ：设方程4x+(m-2)x+(m-5)=0的两根为x1、x2 ①若方程4x+(m-2)x+(m-5)=0有两个正根，则需满足：
22??(m?2)2?16(m?5)?02?m?20m?84?0???0????m?2x?x?0 ??0???1??m?224?xx?0??m?5?12??m?5?0??4新疆奎屯市一中 第 1页（共4页）
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?m?6或m?14???m?2?m∈φ.
?m?5?∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能有两个正根. ②若方程4x+(m-2)x+(m-5)=0有一正根和一负根，则需满足：
2???0??x1x2?0??(m?2)2?16(m?5)?0??m?5?0??4?m<5.
∴此时m的取值范围是(-?,5).
③若方程4x+(m-2)x+(m-5)=0的正根绝对值大于负根绝对值，则需满足：
2???0??x1?x2?0??xx?0?12??(m?2)2?16(m?5)?0??m?2?0??4??m?5?0??4?m<2.
∴此时m的取值范围是(-?,2).
④错解：若方程4x+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
2???0??x1?x2?2?x?x?1?12???m2?20m?84?0??2m?3?0?4??m?5?1??4? m∈(
3,6) 2∴此时m的取值范围是(
23,6)，即原方程不可能两根都大于1. 2正解：若方程4x+(m-2)x+(m-5)=0的两根都大于1，则需满足：
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???0??(x1?1)(x2?1)?0?(x?1)?(x?1)?02?1???m2?20m?84?0??2m?3?0? m∈φ. ??4?m?6?0??4∴此时m的取值范围是φ，即原方程不可能两根都大于1. 说明：解这类题要充分利用判别式和韦达定理.
例2．已知方程2(k+1)x+4kx+3k-2=0有两个负实根，求实数k的取值范围.
解：要原方程有两个负实根，必须:
2?k?1?0?k??1?2?2(k?1)?0??2?k?1?k?k?2?0???0????4k????0???k?0或k??1. x?x?02?1?2(k?1)???3k?2?k?2或k??1?x1x2?0??0?3?2(k?1)?2??2?k??1或?k?1
32∴实数k的取值范围是{k|-2 3二、练习： 1.关于x的方程mx+(2m+1)x+m=0有两个不等的实根，则m的取值范围是： 21111, +?)；B.(-?,-)；C.[-，+?]；D.(-,0)∪(0,+?). 44441提示：由m?0且?>0，得m<-，∴选D. 4A.(-2.若方程x-(k+2)x+4=0有两负根，求k的取值范围. 2新疆奎屯市一中 第 3页（共4页） 高中数学教案 一元二次方程根的分布（第13课时） 王新敞 ?[?(k?2)]2?16?0???0?k??6或k?2?提示：由?x?x?0?k?2?0??k??6. ?1??2?k??2?xx?0?4?0?12?三、小结 用韦达定理解“含参二次方程的实根分布”问题的基本方法 四、布置作业（补充）： 1、若方程8x?(m?1)x?m?7?0有两个负根，则实数m的取值范围 2是 2、若方程3x?(m?5)x?7?0的一个根大于4，另一个根小于4，则实数m的取值范围是 23、若方程x?2tx?t?1?0的两个实根都在?2和4之间，实数t的取值范围是 22提示：x?2tx?t?1?0?(x?(t?1))(x?(t?1))?0 ? 22x1?t?1,x1?t?1, ? ∴??t?1?4 ?t?1??2?1?t?3 224、设α、β是关于方程 x－2(k －1)x＋k＋1=0的两个实根，求 y=? ＋?关于k的解析式，并求y的取值范围 2(y=? ＋?=4(k－五、板书设计（略） 六、课后记： 22175)2 －, k≥3或k≤0, 得y≥2.) 44新疆奎屯市一中 第 4页（共4页）