一、选择题 C B C B B D A A D D 二、填空题
?000??1000?1. A2?3A?3???6?2?10?； ?100?? 2. A?1???1? ；??315???003?2???00?11???3. ?5?2???； 4 . ?11????6??1????5?2??1?2?0??,2??6?2?；
?1????1??5. 2， c=1.
2xx222xx02三、解: D=xx1101………3分 32x2c3?cxx432x?22001100012xx0 =xx0?(x?2)x2?0 ………6分
32x?2 所以方程D＝0的根为x1=2,x2,3=0 ………8分 ?1213?四、解：(??????11?11?1,?2,?3,?4)??? ?1335???45?26???1213??1213????0?1?2?2????2?2?? ………5分
?012??0?12??0000???0?3?6?6????0000??所以向量组?????１，?２，?３，?４的秩为2，
???????１，?２（或?１，?３或?１，?４）是其一个极大线性无关组。………10分
五、解：
?1122?1??122?1??Ab???01221??1?c3?c?1221???c1?4??c20? ?11110????00?1?11???0?1?2?2a??????0000a?1???当a=-1时，R(A)?R(A|b)=3<4 ,所以方程组有无穷多解。 ……5分
?11001??1000?2??又当a=-1时，[A|b]??01003??1003??00?1?11???0??0011?1?
???00000????00000???x1??2所以与原方程组同解的方程组为??x2?3 ……7分 ??x3?x4??1对应齐次线性方程组的基础解系为(0,0,1,?1)T，其特解为(?2,3,1,0)T……10分
通解为k(0,0,1,?1)+(?2,3,1,0)(k为任意实数) ……12分 六、解：|A??E|?3???1?13???(2??)(4??)?0
TT 所以A的特征值为?1?2,?2?4 ……………………4分 当?1?2时，
?1(A?2E)????1?1??1???1??0?1??，对应特征向量为p1?0?1?1??? 2?1? 当?2?4时，
??1(A?4E)????1?1???1????1??0?1?1?1?1?p?，对应特征向量为2???……10分
0?2??1?0?? …………12分 4? 所以P?1?1?2?11??，且P?1??2AP?????0七、证明：（1）因为BT?(CTAC)T?CTAT(CT)T?CTAC?B
所以矩阵B仍是对称矩阵。 ……………………4分 （2）证明1：因为矩阵C可逆，所以C可表示成有限个初等矩阵的乘积： C?P1P2?Pl
所以 B?P1P2?PlAP1P2?Pl
而初等矩阵的转置仍是初等矩阵，因此矩阵是由矩阵经过有限次初等变换得到的，故R（A）=R（B） …………………………7分 证明2：因为矩阵C可逆，所以C仍可逆。
故R(B)?R(CAC)?R(AC)?R(A) …………………………7分
TTTTT