高三九月统练数学试题（理科）
一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答卷的相应位置．．．．．．．上． 1.设复数z满足zi?1?2i(i为虚数单位），则|z|?___▲___. 5 2.已知集合A??1,2,3,4,5,6?，B??1,2?,C??1,3,5,7?则图中阴影部分所表示的集合是___▲___.?3,5?
3.对于函数y=f(x), x∈R, “y=|f(x) |的图象关于y轴对称” 是“y=f(x) 是奇函数” 的 必要不充分 条件.
4.函数f?x??lg?1?x2?的单调递增区间是?0,1?
5.已知?是第二象限角，且sin(???)??35,则tan2?? ___▲___.?247 6.设函数f?x?在?0,???内可导，且f?ex??x?ex，则f??1?＝2
7.设当x??时，函数f?x??sinx?2cosx取得最大值，则cos???255
8. 函数f?x??xcosx2在区间?0,4?上的零点个数为 6
9.已知函数f(x)?3sin(?x??6)(??0)和g(x)?2cos(2x??)(0????)的图象的对称轴完全
相同，则g(?3)的值是 ▲ ．?2
?ax?1，?1≤x?0，10. 设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，在区间[?1，1]上，f(x)????bx?2?x?1，0≤x≤1，其中
a，b?R．若f??1??2???f??3??2??，则a?3b的值为 ▲ ．?10
11. 已知函数f(x)?a?12x?1是奇函数，则不等式f(log2x?1)?0的解集是 ▲ (2,??)
12、已知函数f?x??x2,g?x??2?x?m, 若?x1???1,3?, ?x2??0,2?, 使得f?x1??g?x2?,
则实数m的取值范围是??1,?????4? .
13．对定义域中的任意x1,x2，若x1?x2?2a，都有f?x1??f?x2??2b（a,b为常数），则可证明函数y?f?x?的图象关于点?a,b?成中心对称.研究并利用函数f?x??x3?3x2?sin??x?的对称中心，可得f??1??2014???f??2??4026??4027??2014?????f??2014???f??2014????8054 14．已知函数f?x??sinxx，下列命题正确的是 ②④⑤ 。（写出所有正确命题的序号） ①f(x)是奇函数； ②对定义域内任意x，f(x)<1恒成立；
③当x?32? 时，f(x)取得极小值； ④函数f?x?在?0,??上递减； ⑤当x>0时，若方程|f(x)|=k有且仅有两个不同的实数解?,?(???)则?·cos?=－sin?。
二．解答题：本大题共6小题，共计90分．解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤,请
把答案写在答卷的指定区域内． 15．（本题满分14分）
已知0????2????, 且sin(???)?513, tan?2?12． （1）求cos?的值； （2）求sin?的值．
解：（1）将tan?2tan?2?12代入tan??2?得tan??4 1?tan232?sin?cos??4 所以?3，? 又???0， π??sin2??cos2??1， 2?，
解得cos??35． ?????????????8分
（2）易得π?????3π，又sin(???)?52213, 所以cos???????1213，????10分
由（1）可得sin??45，
所以sin??6365． ?????????????14分 16、（本题满分14分）已知向量m??sinx,1?,n????3Acosx,A2cos2x????A?0?，函数f?x??m?n的最大值为6.
（1）求A；
（2）求不等式f?x??33的解集；
（3）将函数y?f(x)的图象向左平移?12个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的
12倍，纵坐标不变，得到函数y?g(x)的图象.求g(x)在[0,5?24]上的值域. 解：（1）f?x??3Asinxcosx?A???2cos2x＝Asin??2x?6??????2分
因为A?0，所以A?6????4分
（2）原不等式可化为sin????3?2x?6???2
所以2k???3?2x??6?2k??2?3,k?Z 得不等式的解集为：??x|k????12?x?k???4,k?Z???????8分 （3）由（1）f?x??6sin???2x???6??，将函数y?f(x)的图象向左平移?12个单位，得
y?6sin????2???x???12?????6???????6sin??2x?3??；????10分 再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，得到函数
g?x??6sin?????4x?3??；????12分
因为x????0,5??24??，所以4x??3?????3,7??6??，sin???4x????1?3??????2,1?? 所以g(x)在[0,5?24]上的值域为??3,6?????14分
17.（本小题满分14分）设函数f(x)?kax?a?x(a?0,a?1,k?R)是奇函数. （1）求实数k的值； （2）若f(1)?32，且g(x)?a2x?a?2x?2mf(x)在[1,??)上的最小值为?2，求实数m的值. 17. 解:（1）∵ 为奇函数， ∴ ，
∴ ， ∴ ????4分
（2）∵ ， ∴ ，即
，
∴ 或
（舍去） ????6分
∴ ?8分
令，
∵ ， ∴ ，
∴ ， ????10分
当
时，当时，， ∴ ， ----- 12分 当时，当
时，
，
，舍去
∴
. ????14分
18、（本题满分16分）已知函数f(x)?ax2?1(a?0),g(x)?x3?bx.
(1)若曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求a,b的值; (2)当a?3,b??9时,求函数f(x)?g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 解：（1）f?(x)?2ax，g?(x)=3x2?b.因为曲线y?f(x)与曲线y?g(x)在它们的交点?1，c?处具
有公共切线，
所以
f(1)?g(1)，f?(1)?g?(1)．即a?1?1?b且2a?3?b．解得a?3,b?3????6分 （2）记h(x)?f(x)?g(x)
当a?3,b??9时，h(x)?x3?3x2?9x?1，h?(x)?3x2?6x?9 令h?(x)?0，解得：x1??3，x2?1；????8分
h(x)与h?(x)在(??,2]上的情况如下：
x (??,?3) ?3 (?3,1) 1 （1,2 2） h(x)+ 0 — 0 + h?(x)? 28 ? -3 4 ? 由此可知：????12分
当k??3时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值为h(?3)?28； 当?3?k?2时，函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28. 因此，k的取值范围是(??,?3]????16分
19. （本小题满分16分）某园林公司计划在一块O为圆心,R(R为常数)为半径的半圆形（如图）地上种植花草树木，其中弓形CMDC区域用于观赏样板地，?OCD区域用于种植花木出售，其余区域用于种植草皮出售.已知观赏样板地的成本是每平方米2元，花木的利润是每平方米8元，草皮的利润是每平方米3元.
(1) 设?COD??,CMD??l,分别用?,l表示弓形CMDC的面积S弓?f(?),S弓?g(l); (2) 园林公司应该怎样规划这块土地,才能使总利润最大?
(参考公式:扇形面积公式S?12R2??12Rl)
MD C观赏样板地 花木地 草皮地 草皮地 AOB
19.（1）S121扇?2R?，S?OCD?2R2sin?, S1弓?f(?)?2R2(??sin?).--------------------------------- 3 分
又?S1扇?Rl，S12?OCD?2R2sinlR,
S?g(l)?12R(l?Rsinl弓R).------------------------------------- 6 分
(2)设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3
y12?R2?12lR)，y111?3(2?2R2sin??8，y3?2R(l?Rsin?)?2, -------------9分
?y?y?y1121112?y3?3(2?R2?2R?)?2R2sin??8?2R2(??sin?)?2 .
?12R2[3??(5??10sin?)].----------------------------------------------------------10分
设g(?)?5??10sin? ??(0,?).
g'(?)?5?10cos? , ??-------------------------------12分
g'(?)?0,cos??1?2,g(?)在??（0, 3）上为减函数； g'(?)?0,cos??1?2,g(?)在??（3，?）上为增函数. -----------------------14 分 当???3时，g(?)取到最小值,此时总利润最大. 所以当园林公司把扇形的圆心角设计成?3时，总利润最大. --------------------------16
分
【说明】本题考查导数，函数性质，考查运算能力和分析问题和解决问题的能力. 20.（本题满分16分）已知函数f(x)?xlnx?ax(x?0且x≠1)．
（1）若函数f(x)在(1,??)上为减函数，求实数a的最小值；
（2）若?x1,x2?[e,e2]，使f(x1)≤f?(x2)?a成立，求实数a的取值范围．
解：（1）因f(x)在(1,??)上为减函数，故f?(x)?lnx?1(lnx)2?a?0在(1,??)上恒成立． ?2分 所以当x?(1,??)时，f?(x)max?0． 又f?(x)?lnx?1(lnx)2?a???1lnx?2?1lnx?a???1lnx?12?2?14?a， -------------4分（导数求对）
故当1lnx?12，即x?e2时，f?(x)max?14?a．
所以14?a?0,于是a≥14，故a的最小值为14． ???????????6分
（2）命题“若?x1,x2?[e,e2],使f(x1)?f??x2??a成立”等价于
“当x?[e,e2]时，有f(x)min?f??x?max?a”． ?????????????7分 由（1），当x?[e,e2]时，f?(x)1max?4?a，?f??x?max?a?14．
问题等价于：“当x?[e,e2]时，有f(x)min?14”． ?????????????8分
10当a?1时，由（1），f(x)在[e,e2]上为减函数，
42e则f(x)min=f(e)??ae2?1，故a?1?12． ???????????10分 2424e211ln2x1?4x1h?(x1)????x1?ln2x14x124x12?ln2x1--------------------------12分
2当a?1时，由于f?(x)??1?14lnx20??2?1?a在[e,e2]上为增函数，
4?x1?[e,e2] ?ln2x1?[1,4],4x1?[4e,4e2] ?ln2x1?4x1?0即
h?(x1)?0
故f?(x)的值域为[f?(e),f?(e2)]，即[?a,14?a]．
(i)若?a?0，即a?0，f?(x)?0在[e,e2]恒成立，故f(x)在[e,e2]上为增函数， 于是，f(x)min=f(e)?e?ae?e>14，不合． ??????????????12分
(ii)若?a?0，即0?a?14，由f?(x)的单调性和值域知，
?唯一x20?(e,e)，使f?(x0)?0，且满足：
当x?(e,x0)时，f?(x)?0，f(x)为减函数；当x?(x0,e2)时，f?(x)?0，f(x)为增函数； 所以，f(x)min=f(x00)?xlnx?ax0?1，x0?(e,e2)． 04所以，a?1lnx?1?1112??1??1，与0?a?1矛盾，不合． ????1504x0lne4e2444分
综上，得a?12?14e2． ????????????????????????16分
另解：使f(x1)≤f?(x2)?a成立 ?f(x1)?[f?(x2)?a]max
由（1）得f?(x2)1max?4?a ??x1?[e,e2]，使f(x1)?1x14即1lnx?ax1? ---------------------------814分
?1lnx?1 x?a141
令h(x11)?lnx?1,x1?[e,e2]，则h(x1)min?a --------------------------1014x1分
---------------------------14分
h(x11)min?h(e2)?2?14e2
?a?112?4e2 --------------------------16分