12.5因式分解
一、教学目标 知识技能目标
1、了解运用公式法的含义.
2、理解逆用两数和乘以这两数的差公式的意义，弄清公式的形式和特点. 3、初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式. 过程方法目标
运用对比的方法弄清“两数和乘以这两数的差的公式”与“逆用两数和乘以这两数的差的公式”的区别与联系. 情感目标
通过学习进一步理解数学知识间的密切联系，培养认真仔细学习的严谨态度. 二、重点、难点与关键
重点：初步学会逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式. 难点：正确逆用两数和乘以这两数的差的公式分解因式. 关键：弄清逆用两数和乘以这两数的差的公式的形式和特点. 三、教学过程 （一）复习 1．填空：
(1)(a+b)(a-b)=＿＿＿＿＿＿＿. (2)(a+b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿. (3)(a-b)2=＿＿＿＿＿＿＿＿＿. 2．说出1—20的平方的结果. （二）运用公式法：
我们知道整式乘法与因式分解互为逆变形.如果把乘法公式反过来就是把多项式分解因式.于是有：
a2-b2=(a+b)(a-b) a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2
如果把乘法公式反过来，就可以用来把某些多项式分解因式.这种分解因式的方法叫做公式法.
1
（三）逆用两数和乘以这两数的差的公式（平方差公式） 1．平方差公式
（1）公式：a2-b2=(a+b)(a-b)
（2）请同学们先想一想应该怎样叙述这个公式？（可提示两数和乘以这两数的差的公式是怎样叙述的？）语言：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，这个公式就是平方差公式.
①注意与整式乘法中的语言叙述的区别，并以此来帮助同学们弄清两种公式的区别.
因式分解?????②多项式
?????整式乘法（整式）?（整式）????（整式）
a?b22因式分解??????????整式乘法(a?b)(a?b)
在整式乘法中平方差是计算的结果，而因式分解中的平方差则是待分解的多项式. 在整式乘法中两数和乘以这两数的差是计算的条件，而因式分解中的两数和乘以这两数的差则是分解的结果.
（3）形式和特点：
运用条件：两个数平方差的形式（即公式的左边）；
运用结果：这两个数的和与这两个数的差的积（即公式的右边，是两个二项式的乘积）.
（4）例子：
把x2-16和9m2-4n2分解因式.
很显然，这两题都不能用提公因式法来分解因式.而16=42，9m2=(3m)2,4n2=(2n)2,所以有
x2-16=x2-42=(x+4)(x-4)，9m2-4n2=(3m)2-(2n)2=(3m+2n)(3m-2n)。 注意在讲解过程中一项一项对照公式，以加深对公式的理解.
提问：3m2-2n2可以用平方差公式分解因式吗？（指出在没有特别说明的情况下分解因式都是在有理数范围内分解，如果在实数范围内可分解为：(3m?2n)(3m?2n)，a2+b2
2
呢？
2．变式巩固练习
变式一：把下列各式分解因式：
42 2222
（1）1-25b (2)xy-z (3)m2?0.01n2 （4）-9+16a
9请学生试做，再请学生自己说为什么可以这样分解.
42分析：由于（1）中1=12,25b2=(5b)2.（2）中x2y2=（xy）2.（3）中m2?(m)2，
930.01n2=(0.1n)2.（4）可以写成16a2-9，而16a2=(4a)2,9=32.都符合平方差公式，因此都可以用平方差公式来分解因式.
解：（1） 1-25b2 =12-(5b)2=(1+5b)(1-5b) （2） x2y2-z2 =（xy）2- z2 =(xy+z)(xy-z)
4222 （3） m2?0.01n2=(m)2?(0.1n)2?(m?0.1n)(m?0.1n)
9333 （4） -9+16a2=16a2-9=(4a)2-32=(4a+3)(4a-3) 变式二：把下列各式分解因式：
（1）(x+p)2-(x+q)2 （2）16(a-b)2-9(a+b)2 （3）9x2-(x-2y)2
请同学们先讨论，然后再做，再请学生自己说为什么可以这样分解. 分析：在（1）中(x+p)、(x+q)分别相当于公式中的a、b.（2）中16(a-b)2 =［4(a-b)］2, 9(a+b)2=［3(a+b)］2.（3）中9x2=(3x) 2.它们都符合平方差公 式，因此都可以用平方差公式来分解因式.
解：（1）(x+p)2-(x+q)2=［(x+p)+(x+q)］［(x+p)-(x+q)］ =(x+p+x+q)(x+p-x-q) 括号中有同类项应合并.
=(2x+p+q)(p-q)
（2）16(a-b)2-9(a+b)2=［4(a-b)］2-［3(a+b)］2 =［(4a-4b)+(3a+3b)］［(4a-4b)-(3a+3b)］ =(4a-4b+3a+3b)(4a-4b-3a-3b) =(7a-b)(a-7b)
（3）9x2-(x-2y)2=(3x) 2-(x-2y)2=［3x+(x-2y)］［3x-(x-2y)］
=(3x+x-2y)(3x-x+2y)=(4x-2y)(2x+2y) 注意：式子中还有公因式. =2(2x-y)·2(x+y)=4(2x-y)(x+y) 提问：最后为什么不是2(2x-y)(x+y)？
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巩固练习： 把下列各式分解因式：
（1）4a2-b2 （2）(3m+2n)2-(m-n)2 （3）(4x-3y)2-16y2 （4）-4(x+2y)2+9(2x-y)2 （四）小结
提问：1、什么是运用公式法进行因式分解？
2、运用平方差公式分解因式的条件和结果是什么？应注意什么？ （五）作业 课堂作业
把下列各式分解因式:
（1）1－m2 （2）－a2＋b2 （3）x2－19y2 （4）－9＋16x2
（5）4x2－9y2 （6）0.36x2－4y2 （7）x2y2－z2 （8）x2－(x－y)29
（9）9(x－y)2－y2 （10）(x＋2y)2－(2x－y)2 （11）16(a＋b)2－9(a－b)2 （12）(a2＋b2)2－a2b2
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