2017版《高考调研》大一轮复习（新课标，数学文）题组训练：第三

题组层级快练(十五)

4

1．当x>0时，f(x)＝x＋x的单调减区间是( ) A．(2，＋∞) C．(2，＋∞) 答案 B

4（x－2）（x＋2）

解析 f′(x)＝1－x2＝<0，

x2又∵x>0，∴x∈(0，2)，∴选B.

2．函数f(x)＝1＋x－sinx在(0，2π)上是( ) A．增函数

C．在(0，π)上增，在(π，2π)上减 答案 A

解析 ∵f′(x)＝1－cosx>0，∴f(x)在(0，2π)上递增．

3．已知e为自然对数的底数，则函数y＝xex的单调递增区间是( ) A．[－1，＋∞) C．[1，＋∞) 答案 A

解析 令y′＝(1＋x)ex≥0.∵ex>0，∴1＋x≥0，∴x≥－1，选A.

13

4．(2016·长沙雅礼中学模拟)已知函数f(x)＝2x＋ax＋4，则“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的( ) A．充分不必要条件 C．充要条件 答案 A

3

解析 f′(x)＝2x2＋a，当a≥0时，f′(x)≥0恒成立，故“a>0”是“f(x)在R上单调递增”的充分不必要条件．

33

5．若函数y＝a(x3－x)的递减区间为(－3，3)，则a的取值范围是( ) A．a＞0

B．－1＜a＜0 B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 B．(－∞，－1] D．(－∞，1] B．减函数

D．在(0，π)上减，在(π，2π)上增 B．(0，2) D．(0，2)

C．a＞1 答案 A

解析 y′＝a(3x2－1)， 33

解3x2－1＜0，得－3＜x＜3.

33

∴f(x)＝x3－x在(－3，3)上为减函数．

D．0＜a＜1

33

又y＝a·(x－x)的递减区间为(－3，3)．∴a＞0.

3

6．函数f(x)＝lnx－ax(a>0)的单调递增区间为( ) 1A．(0，a) 1

C．(－∞，a) 答案 A

11

解析 由f′(x)＝x－a>0，得0∴f(x)的单调递增区间为(0，a)．

7．如果函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图所示，那么函数f(x)的图像最有可能的是

( )

1

B．(a，＋∞) D．(－∞，a)

答案 A

8．(2016·合肥一中模拟)函数f(x)在定义域R内可导，若f(x)＝f(2－x)，且当x∈(－1

∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，设a＝f(0)，b＝f(2)，c＝f(3)，则( ) A．a

B．c

C．cD．b解析 由f(x)＝f(2－x)可得对称轴为x＝1，故f(3)＝f(1＋2)＝f(1－2)＝f(－1)． 又x∈(－∞，1)时，(x－1)f′(x)<0，可知f′(x)>0. 1

即f(x)在(－∞，1)上单调递增，f(－1)9．(2016·南京市金陵中学月考)已知函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，那么函数f(x)的单调减区间是( ) A．[－1，＋∞) C．(－∞，－1)和(1，2) 答案 C

解析 根据函数f(x)(x∈R)的图像上任一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x0－2)(x02－1)(x－x0)，可知其导数f′(x)＝(x－2)(x2－1)＝(x＋1)(x－1)(x－2)，令f′(x)<0，得x<－1或1

B．(－∞，2] D．[2，＋∞)

答案 B

解析 由函数f(x)的导函数y＝f′(x)的图像自左至右是先上升后下降，可知函数y＝f(x)图像的切线的斜率自左向右先增大后减小，故选B.

11．(2015·新课标全国Ⅱ)设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( ) A．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(－1，0) 答案 A

B．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞)

解析 令F(x)＝f（x）

x，因为f(x)为奇函数，所以F(x)为偶函数，由于F′(x)＝

xf′（x）－f（x）f（x）

，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，所以F(x)＝x在(0，＋∞)

x2f（x）

上单调递减，根据对称性，F(x)＝x在(－∞，0)上单调递增，又f(－1)＝0，f(1)＝0，数形结合可知，使得f(x)>0成立的x的取值范围是(－∞，－1)∪(0，1)．故选A.

12．若函数f(x)的导函数为f′(x)＝x2－4x＋3，则函数f(x＋1)的单调递减区间是________． 答案 (0，2)

13．(2016·保定模拟)已知函数f(x)的导函数为f′(x)＝5＋cosx，x∈(－1，1)，且f(0)＝0，若f(1－x)＋f(1－x2)<0，则实数x的取值范围为________． 答案 (1，2)

解析 ∵导函数是偶函数，∴原函数f(x)是奇函数，且定义域为(－1，1)．又导函数值恒大于0，∴原函数在定义域上单调递增，∴所求不等式变形为f(1－x)1，则不等式f(x)－x>0的解集为________． 答案 (2，＋∞)

解析 令g(x)＝f(x)－x，∴g′(x)＝f′(x)－1. 由题意知g′(x)>0，∴g(x)为增函数． ∵g(2)＝f(2)－2＝0， ∴g(x)>0的解集为(2，＋∞)．

15．已知函数f(x)＝kx3＋3(k－1)x2－k2＋1(k>0)的单调递减区间是(0，4)． (1)实数k的值为________；

(2)若在(0，4)上为减函数，则实数k的取值范围是________． 11答案 (1)3 (2)0

解析 (1)f′(x)＝3kx2＋6(k－1)x，由题意知f′(4)＝0，解得k＝3.