历年高考经典复习
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2010年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）
数学（理工农医类）
本试题包括选择题、填空题和解答题三部分，共6页．时量120分钟，满分150分． 参考公式：锥体的体积公式为V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1．已知集合M??1,2,3?，N??2,3,4?，则
A．M?N C．MB．N?M D．MN??2,3? N??1,4?
2．下列命题中的假命题是 ．．．
A．?x?R，2x?1＞0
?B．?x?N，?x?1?＞0
2C．?x?R，lg＜1 D．?x?R，tanx?2
3．极坐标方程??cos?和参数方程?
A．圆、直线 C．圆、圆
?x??1?t,（t为参数）所表示的图形分别是
?y?2?3tB．直线、圆 D．直线、直线
4．在Rt?ABC中，?C?90，AC?4，则ABAC等于 5．
A．?16
4B．?8
C．8 D．16
1?2xdx等于
A．?2ln2 B．2ln2 C．?ln2
D．ln2
6．在?ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c．若?C?120，c?2a，则
A．a＞b B．a＜b C．a=b D．a与b的大小关系不能确定
7．在某种信息传输过程中，用4个数字的一个排列（数字允许重复）表示一个信息，不同
排列表示不同信息，若所用数字只有0和1，则与信息0110至多有两个对应位置上的数字相同的信息个数为 A．10 B．11 C．12 D．15
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8．用min{a,b}表示a，b两数中的最小值，若函数f(x)?min{|x|,|x?t|}的图象关于直
线x??1对称，则t的值为 2 A．-2 B．2 C．-1 D．1 二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横．．．线上.
9．已知一种材料的最佳加入量在110g到210g之间.若用0.618法安排试验，则第一次试点
的加入量可以是 .
10．如图1所示，过⊙O外一点P作一直线与⊙O交于A，B
两点.已知PA=2，点P到⊙O的切线长PT=4，则弦AB 的长为 . 11．在区间[-1，2]上随机取一个数x，则|x|?1的概率为 .
12．图2是求1?2?3?…+100的值的程序框图，则正整数n? ． 错误!
313．图3中的三个直角三角形是一个体积为20cm的几何体的三视图，则h? cm．
222214．过抛物线x?2py(p＞0)的焦点作斜率为1的直线与该抛物线交于A,B两点，A,B在
2x轴上的正射影分别为D,C．若梯形ABCD的面积为122，则p? ．
15．若数列?an?满足：对任意的n?N，只有有限个正整数m使得am＜n成立，记这样的
?m的个数为(an)?，则得到一个新数列?(an)??．例如，若数列?an?是1,2,3…，n,…，
??则数列(an)是0,1,2,…，n?1,…．已知对任意的n?N，an?n2，则
??(a5)?? ，((an)?)?? ．
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三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分12分）
已知函数f(x)?3sin2x?2sin2x． （Ⅰ）求函数f(x)的最大值； （II）求函数f(x)的零点集合.
17．（本小题满分12分）
图4是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图. （I）求直方图中x的值；
（II）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均
用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望.
18．（本小题满分12分）
如图5所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点. （I）求直线BE和平面ABB1A1所成角的正弦值；
（II）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F//平面A1BE？证明你的结论. 19．（本小题满分13分）
为了考察冰川的融化状况，一支科考队在某冰川上相距8km的A，B两点各建一个考察基地．视冰川面为平面形，以过A，B两点的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系（图6）．在直线x?2的右侧，考察范围为到点B的距离不超过
65km5的区域；在直线x?2的左侧，考察范围为到A，B两点的距离之和不超过45km的区域． （Ⅰ）求考察区域边界曲线的方程；
（Ⅱ）如图6所示，设线段PP，当冰12，P2P3是冰川的部分边界线（不考虑其他边界）
川融化时，边界线沿与其垂直的方向朝考察区域平行移动，第一年移动0.2km，以
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后每年移动的距离为前一年的2倍，求冰川边界线移动到考察区域所需的最短时间．
20．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?x2?bx?c(b,c?R)，对任意x?R，恒有f'(x)?f(x). （I）证明：当x?0时，f(x)?(x?c)2;
（II）若对满足题设条件的任意b，c，不等式f(c)?f(b)?M(c2?b2)恒成立，求M
的最小值.
21．（本小题满分13分）
数列{an}(n?N*)中，a1?a,an?1是函数fn(x)?极小值点.
（I）当a=0时，求通项an;
（II）是否存在a，使数列{an}是等比数列？若存在，求a的取值范围；若不存在，请
说明理由.
131x?(3an?n2)x2?3n2anx的32参考答案
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的． 1—4 CBAD 5—8 DABD
二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分.把答案填在答题卡中对应题号后的横．．．
线上. 9．171.81或48.2 14．2
10．6 15．2，n
211．
2 312．100 13．4
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
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16．解：（I）因为f(x)?3sin2x?(1?cos2x)
?sin(2x??6)?1,
所以，当2x??6?2k???2，即x?k???6(k?Z)时，函数f(x)取得最大值1.
（II）解法1 由（I）及f(x)?0得sin(2x??6)?1，所以 22x??6?2k???6，或2x??6?2k??5??,即x?k?,或x?k?? 63故函数f(x)的零点的集合为{x|x?k?,或x?k???3,k?Z}
解法2 由f(x)?0得23sinxcosx?2sin2x,于是sinx?0，或3cos?sinx 即tanx?3.
由sinx?0可知x?k?；由tanx?3可知x?k???3.
故函数f(x)的零点的集合为{x|x?k?,或x?k??17．解：（I）依题意及频率分布直方图知，
0.02+0.1+x+0.37+0.39=1, 解得x=0.12.
（II）由题意知，X~B（3，0.1）.
因此
?3,k?Z}
01P(X?0)?C3?0.9?0.729,P(X?1)?C3?0.1?0.92?0.243, 23P(X?2)?C3?0.12?0.9?0.027,P(X?3)?C3?0.13?0.001.
故随机变量X的分布列为 X P 0 0．729 1 0．243 2 0．027 3 0．001 X的数学期望为EX=3×0.1=0.3. 18．解法1 设正方体的棱长为1，如图所示，以AB,AD,AA1为单位正交基底建立空间直
角坐标系.
（I）依题意，得B（1，0，0），E（0,1,A（0，0，0），D（0，1，0），所以
1）， 21BE?(?1,1,),AD?(0,1,0).
2在正方体ABCD—A1B1C1D1中，因为AD⊥平面 ABB1A1，所以AD是平面ABB1A1的一个法向量，
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