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1BC． ………………………………………7分 21又 AD=BC，∴ DC=AD．
2由（1）四边形ADCE为矩形，
∴ 矩形ADCE是正方形．
D′ 点D落到D′ 9、（2014山东青岛）将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，处，折痕为EF．
（1）求证：△ABE≌△AD′F；
F A （2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论．证明：⑴ 由折叠可知：∠D＝∠D′，CD＝AD′，∠C＝∠D′AE． ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D，AB＝CD，∠C＝∠BAD．………2′ ∴∠B＝∠D′，AB＝AD′，
B C E ∠D′AE＝∠BAD，即∠1＋∠2＝∠2＋∠3．
D′ ∴∠1＝∠3．
∴△ABE ≌△A D′F． ……………4′ ⑵ 四边形AECF是菱形．
F A 1 D 由折叠可知：AE＝EC，∠4＝∠5．
6 2 ∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．
3 ∴∠5＝∠6．∴∠4＝∠6．∴AF＝AE． ∵AE＝EC， ∴AF＝EC． 4 5 又∵AF∥EC，
B C E ∴四边形AECF是平行四边形．
∵AF＝AE，
∴四边形AECF是菱形． 10、（2014四川资阳）如图8-1，已知P为正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F.
(1) 求证：BP=DP；
(2) 如图8-2，若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不是，请用反例加以说明； 图8-1 图8-2
(3) 试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论 .
⑴ 解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP. 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP.
⑵ 不是总成立 .当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，DP >DC>BP，此时BP=DP不成立.
说明：未用举反例的方法说理的不得分. ⑶ 连接BE、DF，则BE与DF始终相等. 在图8-1中，可证四边形PECF为正方形， 在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC . 从而有 BE=DF 11、（2014南充）如图， 等腰梯形ABCD中，AB＝15，AD＝20，∠C＝30o．点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动．
（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围． （2）当五边形BCDNM面积最小时，请判断△AMN的形状．
∴ DC=
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D
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B M A N C D
解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P． ………………（1分） 由已知，AM＝x，AN＝20－x．
∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D＝∠C＝30o， ∴ ∠PAN＝∠D＝30o． 在Rt△APN中，PN＝ANsin∠PAN＝
1（20－x）， 2
………………………………（3分）
即点N到AB的距离为
1（20－x）． 2∵ 点N在AD上，0≤x≤20，点M在AB上，0≤x≤15， ∴ x的取值范围是 0≤x≤15． ………………………………（4分） （2）根据（1），S△AMN＝
1112AM?NP＝x（20－x）＝?x?5x． 244……（5分）
∵ ?1＜0，∴ 当x＝10时，S△AMN有最大值． 4…………………………（6分）
又∵ S五边形BCDNM＝S梯形－S△AMN，且S梯形为定值， ∴ 当x＝10时，S五边形BCDNM有最小值． …………………………（7分） 当x＝10时，即ND＝AM＝10，AN＝AD－ND＝10，即AM＝AN． 则当五边形BCDNM面积最小时，△AMN为等腰三角形． …………（8分）
B M A P N C D
12、（2014福建福州）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
① ② ③ ④ ⑤
解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．（满分8分）
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13、（2014福建晋江）如图，四边形ABCD为矩形，AB＝4，AD＝3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动。过点N作NP⊥BC，交AC于点P，连结MP。已知动点运动了x秒。
⑴请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）
⑵若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值。
⑶若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由。
解：⑴
12?4x； 3 ⑵延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由⑴得： PN＝
D M C
12?4x， 312?4x4?x。 33P 依题意，可得：AM?3?x
1142222A 233S??AM?PQ??(3?x)?x?2x?x??(x?3x)??(x?)2?
22333322∵0≤x≤1.5
则PQ?QN?PN?4?即函数图象在对称轴的左侧，函数值S 随着x的增大而增大。
∴当x?1时，S有最大值 ，S最大值＝
y x=1.5 N B
4。 32 1 ⑶△MPA能成为等腰三角形， 共有三种情况，以下分类说明： ①若PM＝PA，
∵PQ⊥MA ∴MQ＝QA＝x
又DM＋MQ＋QA＝AD ∴3x?3，即x?1
O 1 2 3 4②若MP＝MA，则MQ＝3?2x，PQ＝x，MP＝MA＝3?x 3222在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP?MQ?PQ 544222∴(3?x)?(3?2x)?(x)，解得：x?（x?0不合题意，舍去）
433③若AP＝AM，
4 x 5x，AM＝3?x 395∴x?3?x，解得：x?
83549综上所述，当x?1，或x?，或x?时，△MPA是等腰三角形。
438由题意可得：AP?BatchDoc-Word文档批量处理工具