解：这个立体图形是一个圆柱的四分之一（如右上图），圆柱的底面半径为10cm，高为8cm。它的表面积为
例8 左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。
解：把空间图形表面的线条画在平面展开图上，只要抓住四边形APQC四个顶点所在的位置这个关键，再进一步确定四边形的四条边所在的平面就可容易地画出。 （1）考虑到展开图上有六个顶点没有标出，可想象将展开图折成立体形，并在顶点上标出对应的符号，见左下图。
（2）根据四边形所在立体图形上的位置，确定其顶点所在的点和棱，以及四条边所在的平面：
6
顶点：A—A，C—C，P在EF边上，Q在GF边上。边AC在ABCD面上，AP在ABFE面上，QC在BCGF面上，PQ在EFGH面上。
（3）将上面确定的位置标在展开图上，并在对应平面上连线。需要注意的是，立体图上的A，C点在展开图上有三个，B，D点在展开图上有二个，所以在标点连线时必须注意连线所在的平面。连好线的图形如右上图。
例9 如右图所示，剪一块硬纸片可以做成一个多面体的纸模型（沿虚线折，沿实线粘）。这个多面体的面数、顶点数和棱数的总和是多少？
解：从展开图可以看出，粘合后的多面体有12个正方形和8个三角形，共20个面。
这个多面体上部的中间是一个正三角形，这个正三角形的三边与三个正方形相连，这样上部共有9个顶点，下部也一样。因此，多面体的顶点总数为 9×2=18（个）。 在20个面的边中，虚线有19条，实线有34条。因为每条虚线表示一条棱，两条实线表示一条棱，所以多面体的总棱数为
19＋34÷2=36（条）。
综上所述，多面体的面数、顶点数和棱数之和为
20+18＋36＝74。
说明：数学家欧拉曾给出一个公式：V＋F-E＝2。公式中的V表示顶点数，E表示棱数，F表示面数。
根据欧拉公式，知道上例多面体的面数和顶点数之后，棱数便可求得：
E=V＋F-2=20＋18-2=36（条）。
三、立体图形的截面与投影
例10 用一个平面去截一个正方体，可以得到几边形？ 解：如下图，可得到三角形、四边形、五边形和六边形。
7
例11 一个棱长为6cm的正方体，把它切开成49个小正方体。小正方体的大小不必都相同，而小正方体的棱长以厘米作单位必须是整数。问：可切出几种不同尺寸的正方体？每种正方体的个数各是多少？
解：13=1，23=8，33=27，43=64，53=125，63=216。
如果能切出1个棱长为5cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm的正体体，共切出小正方体
1＋（63-53）÷1=92（个）。
因为92＞49，所以不可能切出棱长为5cm的正方体。
如果能切出1个棱长为4cm的正方体，那么其余的只能是棱长为1cm或2cm的正方体。设切出棱长为1cm的正方体有a个，切出棱长为2cm的正方体有b个，则有
设切出棱长为1cm的正方体有a个，棱长为2cm的正方体有b个，棱长为3cm的正方体有c个，则
解之得a=36，b=9，c=4。
所以可切出棱长分别为1cm，2cm和3cm的正方体，其个数依次为36，9和4。 例12 现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。 例：
8
解：立体图形的形状如下图所示。
从上面和下面看到的形状面积都为9cm2，共18cm2； 从两个侧面看到的形状面积都为7cm2，共14cm2； 从前面和后面看到的形状面积都为6cm2，共12cm2； 隐藏着的面积有2cm2。
一共有18＋16＋12＋2＝46（cm2）。
练习8
1．一个长方体水箱，从里面量得长40cm，宽30cm，深35cm，里面的水深10cm。放进一个棱长20cm的正方体铁块后，水面高多少厘米？
2．王师傅将木块刨成横截面如下图（单位：cm）那样的高40cm的一个棱柱。虚线把横截面分成大小两部分，较大的那部分的面积占整个底面的60％。这个棱柱的体积是多少立方厘米？
3．在底面为边长60cm的正方形的一个长方体的容器里，直立着一根高1m，底面为边长15cm的正方形的四棱柱铁棍。这时容器里的水半米深。现在把铁棍轻轻地向正上方提起24cm，露出水面的四棱柱铁棍浸湿部分长多少厘米？
9
4．下列各图形中，有的是正方体的展开图，写出这些图形的编号。
5．小玲有两种不同形状的纸板，一种是正方形，一种是长方形。正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是1∶2。她用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒（如下图），正好将纸板用完。在小玲所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？
6．请你在下面图（2）中画出3种和图（1）不一样的设计图，使它们折起来后都成为右图所示的长方形盒子（直线段与各棱交于棱的中点）。
10