北京石景山区2011年高三统一测试
数学试题（理科）
考生须知： 1．本试卷为闭卷考试，满分为150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷共6页，各题答案均答在答题卡上．
第Ⅰ卷 选择题
一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．设M?{x|x?4},N?{x|x2?4}，则
A．M
N
（ ） B．N
M
C．M?CRN
D．N?CRM
2．若
1?7i?a?bi(a,b?R),i是虚数单位，则乘积ab的值是 2?i（ ） B．3
C．-3
D．5
A．-15
3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4?18?a5,则S8? （ ） A．72 B．68 C．54 4．一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示（单位：
cm），则这个几何体的体积是 （ ）
A．3cm C．2cm
33D．90
53cm 233D．cm
2B．
（ ）
5．已知O是?ABC所在平面内一点，D为BC边中点，且
?????????????2OA?OB?OC?0，那么
????????A．AO?OD ????????C．AO?3OD
????????B．AO?2OD ????????D．2AO?OD
6．某单位有7个连在一起的车位，现有3辆不同型号的车需停放，如果要求剩余的4个车
位连在一起，则不同的停放方法的种数为 （ ） A．16 B．18 C．24 D．32
x2?y2?1的焦点为F1,F2，在长轴A1A2上任取一点M，过M作垂直于A1A27．已知椭圆4
?????????的直线交椭圆于点P，则使得PF1?PF2?0的点M的概率为
A．
（ ）
2 3B．
6 3C．
26 3D．
1 28．定义在R上的函数f(x)满足f(4)?1,f?(x)为f(x)的导函数，已知y?f?(x)的图象如
图所示，若两个正数a,b满足f(2a?b)?1,则
A．(,)
B．(??,)?(5,??) C．(,5) D．(??,3)
（ ）
b?1的取值范围是 a?11153
1313
第Ⅱ卷 非选择题
二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．
9．在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,且b?c?bc?a，则角A的大小为 ．
10．阅读如图所示的程序框图，运行该程序后输出的k的值是 ． 11．在平面直角坐标系xOy中，已知圆C:?222?x?5cos??1（?为参数）和
?y?5sin??2?x?4t?6直线l:?（t为参数），则圆C的普通方程为 ，直线ly??3t?2?与圆C的位置关系是 。
12．如图，圆O的直径AB=8，C为圆周上一点，BC=4，过C作圆的切线l，
过A作直线l的垂线AD，D为垂足，AD与圆O交于点E，则线段AE的长为 。 13．已知两定点M(?1,0),N(1,0)，若直线上存在点P，使得|PM|?|PN|?4，则
该直线为“A型直线”。给出下列直线，其中是“A型直线”的是 。
①y?x?1
②y?2
③y??x?3
④y??2x?3
214．函数y?x2(x?0)的图象在点(an,an)处的切线与x轴交点的横坐标为an?1，
n?N*,若a1?16,则a3?a5? ，数列{an}的通项公式为 ．
三、解答题：本磊题共6小题，共80分．解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）
在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a,b,c,且4sin2A?B7?cos2C?. 22 （Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求sinA?sinB的最大值．
16．（本小题满分13分） 为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者，从符合条件的500
名志愿者中随机抽样100名志原者的年龄情况如下表所示。 （Ⅰ）频率分布表中的①、②位置应填什么数据？并在答题卡中补全频率分布直方图（如
图），再根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在[30,35)岁的人数；
（Ⅱ）在抽出的100名志原者中按年龄再采用分层抽样法抽取20人参加中心广场的宣传
活动，从这20人中选取2名志愿者担任主要负责人，记这2名志愿者中“年龄低于30岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望。
17．（本小题满分14分） 在棱长为2的正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为A1D1和CC1的中
点．
（Ⅰ）求证：EF//平面ACD1；
（Ⅱ）求异面直线EF与AB所成的角的余弦值；
（Ⅲ）在棱BB1上是否存在一点P，使得二面角P—AC—B的大小为30°？若存在，求出
BP的长；若不存在，请说明理由．
18．（本小题满分13分）
已知函数f(x)?(a?)x?lnx,(a?R).
122 （Ⅰ）当a?1时,求f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若在区间(1,??)上，函数f(x)的图象恒在直线y?2ax下方，求a的取值范围．
19．（本小题满分13分）
x2y2261已知椭圆2?2?1(a?b?0)经过点P(，动点,)，离心率为
222abM(2,t)t?( 0) （Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）求以OM为直径且被直线3x?4y?5?0截得的弦长为2的圆的方程； （Ⅲ）设F是椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于点N，证明
线段ON的长为定值，并求出这个定值．
20．（本小题满分14分）
已知定义在R上的函数f(x)和数列{an},a1?a,a2?a1，当n?N且n?2时，，其中a,k均为非零常数． an?f(an?1),且f(an)?f(an?1)?k(an?an?1) （Ⅰ）若数列{an}是等差数列，求k的值；
（Ⅱ）令bn?an?1?an(n?N),若b1?1，求数列{bn}的通项公式；
**
（Ⅲ）若数列{an}为等比数列，求函数f(x)的解析式．