第四章 圆与方程 4.1 圆的方程 4.1.1 圆的标准方程
一、教学目标
重点: 圆的标准方程的推导过程和圆标准方程特征的理解与掌握． 难点：会根据不同的已知条件，利用待定系数法求圆的标准方程． 知识点：会求圆的标准方程.
能力点：根据不同的已知条件求圆的标准方程.
教育点：尝试用代数方法解决几何问题探究过程，体会数形结合、待定系数法的思想方法，增强学生学习数学的兴趣，并激发学生学习数学的自信心. 自主探究点：点与圆的位置关系的判断方法. 考试点：会求圆的标准方程.
易错易混点：不同的已知条件，如何恰当的求圆的标准方程.
拓展点：如何根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程．
二、引入新课
圆在我们的生活中无处不在，日出东方，车行天下，这些都是圆的具体表现形式．那么车轮为何设计为圆形，而不是其他的形状？
师生活动：若是方形，走起来颠簸，不舒服；不是圆形，转不起来.正是圆，可以让车轮上的每一点到轴心的距离相等，才保证了轮子转起来而不颠簸.
【设计意图】从身边的实例引入，激发学生学习兴趣，也为复习圆的定义做好铺垫. 问题1：什么是圆？
问题2：在平面直角坐标系中，两点确定一条直线，一点和倾斜角也可以确定一条直线，那么在什么条件下可以确定一个圆？
【设计意图】使学生在已有知识的基础上，结合圆的定义回答出确定圆的两个要素—圆心（定位）和半径（定形）．
问题3：直线可以用一个方程表示，圆也可以用一个方程来表示吗？
【设计意图】使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知，引出本课题．
三、探究新知
问题4：已知圆的圆心坐标为A(a,b)，半径为r（其中a、b、r都 是常数，r?0），如何确定圆的方程？
师生活动：类比直线点斜式方程的推导方法，引导学生回答求曲线的 方程的一般步骤．
(1)建立适当的直角坐标系，用(x，y)表示曲线上任意点M的坐标； (2)写出适合条件P的点M的集合P={M|P(M)|}；
(3)用坐标表示条件P(M)，列出方程f(x，y)=0； (4)化方程f(x，y)=0为最简形式；
(5)说明化简后的方程就是所求曲线的方程．
y A M O x 1
师生活动：师生共同完成圆的标准方程推导
（1）建系设点：由学生在黑板上板演，并问有无不同建立坐标系的方法．教师指出：这两种建立坐标系的方法都对，原点在圆心这是特殊情况，现在仅就一般情况推导．因为C是定点，可设C(a,b)、半径r，且设圆上任一点M坐标为(x,y)．
（2）写点集：根据定义，圆就是集合P={M||MC|=r}．
（3）列方程：由两点间的距离公式得：(x?a)?(y?b)?r.
（4）化简方程：将上式两边平方得：(x?a)2?(y?b)2?r2．
方程(x?a)?(y?b)?r就是圆心是C(a,b)、半径是r的圆的方程．我们把它叫做圆的标准方程．
【设计意图】让学生掌握圆的标准方程的推导方法,有学生自己化简得出结论便于学生理解记忆．
22222四、理解新知
圆的标准方程：(x?a)2?(y?b)2?r2，其中圆心为A(a,b)，半径为r． 特别地，当圆心为原点O(0,0),圆的标准方程为x?y?r
强调：圆心和半径分别确定了圆的位置和大小，从而确定了圆，所以，只要a,b,r三个量确定了且r?0，圆的方程就给定了．这就是说要确定圆的方程，必须具备三个独立的条件．注意，确定a,b,r，可以根据条件，利用待定系数法来解决．
【设计意图】便于学生理解掌握圆的标准方程，为准确地运用新知，作必要的铺垫． 基础检测：
1. 说出下列圆的方程： (1) 圆心在原点,半径为3
(2) 圆心在点C(3, -4), 半径为7 (3)经过点P(5,1)，圆心在点C(8,-3)
2.说出下列方程所表示的圆的圆心坐标和半径：
(1) (x + 7)2 + ( y ? 4)2 = 36
(2) (x ? a)2 + y 2 = m2 （m?0） (3) x2 + y2 ? 4x + 10y + 28 = 0
【设计意图】熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标,半径长的关系．
222五、运用新知
例1 写出圆心为A(2,?3),半径长等于5的圆的方程，并判断点M1(5,?7),M2(?5,?1)是否在这个圆上．
分析：判断圆心是否在圆上，可以从计算点到圆心的距离入手． 解：圆心是A(2,?3)，半径长等于5的圆的标准方程是
2
(x?2)2?(y?3)2?25
把点M1(5,?7),的坐标代人方程(x?2)?(y?3)?25，左右两边相等，点M1(5,?7)的坐标适合圆的方程，所以点M1(5,?7)在这个圆上；把点M2(?5,?1)的坐标代人方程(x?2)?(y?3)?25，左右两边不相等，点M2(?5,?1)的坐标不适合圆的方程，所以点M2(?5,?1) 不在这个圆上． 【设计意图】通过对圆的标准方程的直接应用，培养学生分析问题、解决问题的能力和良好的解题习惯． 探究：怎样判断点M(x0,y0)在圆(x?a)2?(y?b)2?r2上？圆内？还是圆外？
222（1）(x0?a)?(y0?b)?r?(x?a)?(y?b)?r?点在圆外 222（2）(x0?a)?(y0?b)?r?(x?a)?(y?b)?r?点在圆上 222（3）(x0?a)?(y0?b)?r?(x?a)?(y?b)?r?点在圆内
2222222222【设计意图】学生自己探讨发现点与圆的位置关系的判定方法，从而归纳出下列结论,培养学生分析问题、解决问题的能力． 变式训练：
1.点P(m,5)与圆x2?y2?25的位置关系（ ）
Ａ．在圆外 Ｂ．在圆上 Ｃ．在圆内 Ｄ．在圆上或圆外 2.求经过点P(5，1)，圆心在点C(8，-3)的圆的标准方程． 3.求圆心为(2,?1)且与直线3x?4y?5?0相切的圆的标准方程． 【设计意图】根据圆心和半径熟练写出圆的标准方程．
例2 ?ABC的三个顶点的坐标是A(5,1),B(7,?3),C(2,?8)，求它的外接圆的方程．
分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．从圆的标准方程
(x?a)2?(y?b)2?r2 可知，要确定圆的标准方程，可用待定系数法确定a,b,r三个参数．还可以先
求圆心（是线段AB和线段BC的中垂线的交点），然后求半径，代入圆的标准方程． 解法一：设所求圆的方程是(x?a)?(y?b)?r (1)
因为A(5,1),B(7,?3),C(2,?8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是
222?(5?a)2?(1?b)2?r2?a?2??222?(7?a)?(?3?b)?r ?b??3 ??r?5?(2?a)2?(?8?b)2?r2??所以，?ABC的外接圆的方程为 (x?2)?(y?3)?25． 解法二：（师生共同完成）
因为A(5,1),B(7,?3)，所以线段AB的中点D的坐标为(6,?1)，直线AB的斜率kAB??2，
3
22因此线段AB的垂直平分线L1的方程是 y?1?1(x?6)， 2即 x?2y?8?0， 同理可得线段BC的垂直平分线L2的方程是 x?y?1?0． y ?x?2y?8?0圆心M的坐标是方程组 ? 的解．
x?y?1?0??x?2解此方程组，得 ?，
?y??3所以圆心M的坐标是(2,?3)． 圆心M的圆的半径长 r?|AM|?L1 L2 A O M E C x D B (5?2)2?(1?3)2?5．
所以，?ABC的外接圆的方程为 (x?2)2?(y?3)2?25．
总结归纳：（教师启发，学生自己比较、归纳）比较例2得出?ABC外接圆的标准方程的两种求法： 方法一：代数法—待定系数法； 方法二：几何法—数形结合．
【设计意图】结合例2的理解，学生自己归纳出求任意三角形外接圆的标准方程的两种方法，并比较两种方法的优劣．
例3 已知圆心为C的圆经过点A(1,1)和B(2,?2)，且圆心C在直线上l:x?y?1?0，求圆心为C的圆的标准方程．
解法一：因为A(1,1)，B(2,?2)，所以线段AB的中点D的坐标为??31?,??，直线AB的斜率22??y l A O D C B x kAB??2?1??3． 2?1因此线段AB的垂直平分线m的方程是y?即x?3y?3?0．
11?3???x??， 23?2?圆心C的坐标是方程组??x?3y?3?0的解．
?x?y?1?0解此方程组，得??x??3 ，所以圆心C的坐标是??3,?2?
y??2?(1?3)2?(1?2)2?5．
22圆心为C的圆的半径长r?AC?所以圆心为C的圆的标准方程是(x?3)?(y?2)?25．
4
解法二：设所求圆的方程为(x?a)2?(y?b)2?r2．
?(1?a)2?(1?b)2?r2?a??3??由题意得 ?(2?a)2?(?2?b)2?r2 ， 解得?b??2
?r2?25?a?b?1?0??所以所求圆的方程是(x?3)2?(y?2)2?25．
【设计意图】结合对例2的理解，找两位同学分别用两种不同的方法到黑板上解该题，让学生体会根据
不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程，并比较两种方法的优劣，同时学生爬黑板板书解题过程，以规范学生的解题步骤．
六、课堂小结
教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答： 1．知识：（1）圆的标准方程的结构特点． （2）点与圆的位置关系的判定． (3) 求圆的标准方程的方法： ①待定系数法；②几何法. 2．思想：数形结合的思想．
教师总结: 圆的标准方程的推导方法用到了前面学过的知识，提醒学生: 在学习新知时，也要经常复习前面学过的内容,“温故而知新”．在应用中增强对知识的理解，及时查缺补漏,从而更好地运用知识,解题要有目的性，加强对数学知识、思想方法的认识与自觉运用． 【设计意图】加强对学生学习方法的指导．
七、布置作业
1.阅读教材 P118-120； 2．书面作业
必做题： P124 习题4.1 A组 2，3 选做题： P124 习题4.1 B组 3
【设计意图】设计书面作业必做题，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够根据不同的条件，灵活适当地选取恰当的方法求圆的标准方程；选做题是鼓励学有余力的同学进一步加深本节内容的理解和探索圆的第二定义．
八、教后反思
1.本教案的亮点是圆的标准方程的推导以，都是在学生已有的知识基础上得到，不是生硬的抛出，而是水到渠成．例2例3采用一题多解，纵向挖掘知识深度，横向加强知识间的联系，培养了学生的创新精神，并且使学生的有效思维量加大，随时对所学知识和方法产生有意注意，能力与知识的形成相伴而行，这样的设计不但突出了重点，更使难点的突破水到渠成.
2.由于各校的情况不同，建议教师在使用本教案时灵活掌握，但必须在公式的推导过程上下足功夫． 3.本节课的弱项是课容量大，时间所限，在课堂上没有充分暴露学生的思维过程，感觉一节课下来比较紧，学生理解不透彻．
九、板书设计
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4.1.1 圆的标准方程 1．圆的标准方程： 例3. (x?a)2?(y?b)2?r2其中圆心为A(a,b)，半径为r． 2．点和圆的位置关系： 例1. 例2. 课堂小结： 6