计算题32分强化练(六)
1．(12分)如图1所示，足够长的光滑U形导体框架的宽度L＝0.40 m，电阻忽略不计，其所在平面与水平面所成的角α＝37°，磁感应强度B＝1.0 T的匀强磁场方向垂直于框平面．一根质量为m＝0.20 kg、有效电阻R＝1.0 Ω的导体棒MN垂直跨放在U形框架上，导体棒从静止开始沿框架下滑到刚开始匀速运动时，通过导体棒截面电量共为Q＝2.0 C．(sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g取10 m/s2)
求：
(1)导体棒的最大加速度和最大电流的大小和方向？
(2)导体棒从开始下滑到刚开始匀速运动这一过程中，导体棒的有效电阻消耗的电功？
【导学号：37162121】
图1
【解析】 (1)MN杆速度为零时，加速度最大，受力分析如图甲 mgsin 37°2
a＝＝gsin 37°＝6 m/s，加速度方向沿斜面向下
m
(2分)
甲 乙
MN杆速度最大时，电流最大，受力分析如图乙 有：mgsin 37°＝BIL，
代入数据解得：I＝3 A，电流的方向由N→M.
(2分) (1分)
BLvm
(2)MN杆匀速运动时有最大速度，I＝R，代入数据解得：vm＝7.5 m/s，
(1分)
设MN杆从开始下滑到刚开始匀速运动这一过程中下滑的位移为d，通过导体横截面电量
－E－－
Q＝IΔt，I＝R ΔΦ
而平均感应电动势－E＝Δt，ΔΦ＝BLd， QR2×1解得d＝BL＝ m＝5 m．
1×0.4
设导体棒的有效电阻消耗的电功为W，由动能定理得， 12
mgdsin 37°－W＝2mvm， 代入数据解得W＝0.375 J．
(2分) (1分) (1分) (1分) (1分)
【答案】 (1)6 m/s2 方向沿斜面向下 3 A 方向由N→M (2)0.375 J 2．(20分)如图2甲所示，一对平行金属板M、N长为L，相距为d，O1O为中轴线．当两板间加电压UMN＝U0时，两板间为匀强电场，忽略两极板外的电场．某种带负电的粒子从O1点以速度v0沿O1O方向射入电场，粒子恰好打在上极板M的中点，粒子重力忽略不计．
甲
乙 图2
q
(1)求带电粒子的比荷m；
LT
(2)若MN间加如图乙所示的交变电压，其周期T＝2v，从t＝0开始，前3内
0
2T
UMN＝2U，后3内UMN＝－U，大量的上述粒子仍然以速度v0沿O1O方向持续射入电场，最终所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，求U的值；
(3)紧贴板右侧建立xOy坐标系，在xOy坐标第Ⅰ、Ⅳ象限某区域内存在一个圆形的匀强磁场区域，磁场方向垂直于xOy坐标平面，要使在(2)问情景下所有粒子经过磁场偏转后都会聚于坐标为(2d,2d)的P点，求磁感应强度B的大小范围．
【解析】 (1)设粒子经过时间t0打在M板中点，沿极板方向有： 1
2L＝v0t0
垂直极板方向有： 1qU02d＝22md t0 q4d2v20解得：m＝UL2.
0
L
(2)粒子通过两板时间为：t＝v＝2T
0
(1分)
(1分) (1分) (1分)
从t＝0时刻开始，粒子在两板间运动时每个电压变化周期的前三分之一时2qU
间内的加速度大小a1＝md，方向垂直极板向上；
(1分)
qU
在每个电压变化周期的后三分之二时间内加速度大小a2＝md，方向垂直极板向下．
(1分)
不同时刻从O1点进入电场的粒子在电场方向的速度vy随时间t变化的关系如图所示．
因为所有粒子刚好能全部离开电场而不打在极板上，可以确定在t＝nT或t
1
＝nT＋3T时刻进入电场的粒子恰好分别从极板右侧上下边缘处飞出．它们在电T?d?1
T? 场方向偏转的距离最大．有：2＝2?2?a1·3?·??
3U0解得：U＝4.
(3分) (1分)
(3)所有粒子射出电场时速度方向都平行于x轴，大小为v0.设粒子在磁场中v20
的运动半径为r，则有：qv0B＝mr mv0
解得：r＝
qB
(2分) (1分)
粒子进入圆形区域内聚焦于P点时，磁场区半径R应满足：R＝r 在圆形磁场区域边界上，P点纵坐标有最大值，如图所示．
5
磁场区的最小半径为：Rmin＝d，
4
4mv0U0L2
对应磁感应强度有最大值为：Bmax＝5qd＝5d3v 0磁场区的最大半径为：Rmax＝2d，
mv0U0L2
对应磁感应强度有最小值为：Bmin＝2qd＝8d3v 0
U0L2U0L2
所以，磁感应强度B的可能范围为：8d3v≤B≤5d3v.
004d2v20
【答案】 (1)带电粒子的比荷UL2
03U0(2)电压U的值为4
U0L2U0L2
(3)磁感应强度B的大小范围8d3v≤B≤5d3v
00
(2分) (1分) (2分) (1分) (1分)