课时作业(二十五) [第25讲 正、余弦定理及其应用]
[时间：45分钟 分值：100分]
基础热身
1．在△ABC中，A＝45°，B＝60°，a＝10，则b＝________.
2．在△ABC中，已知a＝7，b＝43，c＝13，则最小的内角为________． 3．在△ABC中，已知sinA＝2sinBcosC，则该三角形的形状为________．
1
4．在△ABC中，若S△ABC＝(a2＋b2－c2)，那么角C＝________.
4
能力提升
5．在△ABC中，a＝6，B＝30°，C＝120°，则△ABC的面积是________． 6．在△ABC中，已知a＝18，b＝20，A＝150°，则△ABC解的情况是________． 7．[2011·苏北四市一调] 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若sinA＝3sinC，B＝30°，b＝2，则△ABC的面积是________．
53
8．在△ABC中，已知cosA＝，sinB＝，则cosC的值为________．
135
a＋b＋c
9．已知△ABC中，∠A＝60°，a＝3，则＝________.
sinA＋sinB＋sinC
sinAcosBcosC10．若＝＝，则△ABC的形状是________．
abc
11．[2012·镇江模拟] 在△ABC中，若AB＝AC，则cosA＋cosB＋cosC的取值范围为________． 12．[2012·江西六校联考] 在三角形ABC中，A，B，C是其三个内角，内角A，B，C对边的边长分
π
别是a，b，c，c＝2，C＝，记m＝(sinC＋sin(B－A)，2)，n＝(sin2A,1)，若m与n共线，则△ABC的面
3
积为________．
π1
13．(8分)在△ABC中，C－A＝，sinB＝. 23
(1)求sinA的值；
(2)设AC＝6，求△ABC的面积．
14．(8分)在△ABC中，a、b、c分别为内角A、B、C的对边，且2asinA＝(2b＋c)sinB＋(2c＋b)sinC. (1)求A的大小；
(2)若sinB＋sinC＝1，试判断△ABC的形状．
15．(12分)[2011·苏州一模] 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，且(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc.
(1)求A；
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(2)若B－C＝90°，c＝4，求b.(结果用根式表示)
16．(12分)[2011·南京三模] 已知a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边，且acosC＋ccosA＝2bcosB.
(1)求角B的大小；
(2)求sinA＋sinC的取值范围．
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课时作业(二十五)
【基础热身】
abasinB10sin60°
1．56 [解析] 由＝得，b＝＝＝56.
sinAsinBsinAsin45°
a2＋b2－c23
2．30° [解析] 大边对大角，小边对小角，所以边c所对的角最小，cosC＝＝.又因为C
2ab2
∈(0，π)，所以最小角C＝30°.
a2＋b2－c2a2＋b2－c2sinAaa
3．等腰三角形 [解析] 由正弦定理及余弦定理，得＝，cosC＝，所以＝2·，
sinBb2abb2ab
整理得b2＝c2，因为b>0，c>0，所以b＝c.因此，△ABC为等腰三角形．
π11
4. [解析] 根据三角形面积公式得，S＝absinC＝(a2＋b2－c2)， 424
a2＋b2－c2a2＋b2－c2
∴sinC＝.又由余弦定理：cosC＝，
2ab2ab
π
∴sinC＝cosC，∴C＝.
4
【能力提升】
113
5．93 [解析] 由条件易得A＝B＝30°，所以b＝a＝6，S＝absinC＝×6×6×＝93.
222
6．无解 [解析] ∵b＞a，∴B＞A.而A＝150°，B为钝角不可能，所以无解．
a2＋c2－b2sinAa3
7.3 [解析] 由sinA＝3sinC，得＝＝3?a＝3c，cosB＝＝?a＝23，c＝2，
sinCc2ac2
1
所以S△ABC＝acsinB＝3.
21612
8. [解析] 由已知可得sinA＝，sinA>sinB，由于在△ABC中，由sinA>sinB?A>B知角B为锐角，65134
故cosB＝，
5
20361616
所以cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝－＝－，故cosC＝.
65656565
abc
9．2 [解析] 设＝＝＝k(k>0)，则有a＝ksinA，b＝ksinB，c＝ksinC，
sinAsinBsinC
a＋b＋cksinA＋ksinB＋ksinC
从而＝＝k，
sinA＋sinB＋sinCsinA＋sinB＋sinC
a＋b＋ca3
又＝＝2＝k，所以＝2. sinAsin60°sinA＋sinB＋sinC
10．等腰直角三角形 [解析] 在△ABC中，由正弦定理：
sinAcosBcosCsinAcosBcosCsinBsinC
a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，代入＝＝得：＝＝，∴＝abc2RsinA2RsinB2RsinCcosBcosC
＝1.
∴tanB＝tanC＝1，∴B＝C＝45°.∴△ABC是等腰直角三角形．
3
1，? [解析] 由于AB＝AC，所以b＝c，由余弦定理得 11.??2?b2＋c2－a2a2＋c2－b21a?2a1?a?23
－1＋，cosA＋cosB＋cosC＝＋2·＝－?＋＋1＝－由于b＋c>a，即2b>a，
2bc2ac2?b?b2?b?2
a1a?233
－1＋≤. 所以0<<2，于是1<－?b2?b?22
2312. [解析] ∵m与n共线，∴sinC＋sin(B－A)－2sin2A＝0，
3
sin(A＋B)－sin(A－B)＝4sinAcosA，即sinBcosA＝2sinAcosA.
ππ4323123
当cosA＝0时，A＝，B＝，a＝，b＝，S＝absinC＝.
263323
当cosA≠0时，得sinB＝2sinA，由正弦定理得b＝2a.
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由c2＝a2＋b2－2abcosC得4＝a2＋b2－ab，
22??a＋b－ab＝4，
联立方程?
?b＝2a.?2343123解得a＝，b＝.S＝absinC＝.
3323
23
所以△ABC的面积为S＝.
3π
13．[解答] (1)由C－A＝和A＋B＋C＝π，
2
ππ
得2A＝－B,0
1
故cos2A＝sinB，即1－2sin2A＝，
3
3
sinA＝.
3
6
(2)由(1)得cosA＝. 3
BCAC
又由正弦定理，得＝，
sinAsinB
sinABC＝·AC＝32，
sinB
11
所以S△ABC＝AC·BC·sinC＝AC·BC·cosA＝32.
22
14．[解答] (1)由已知，根据正弦定理得 2a2＝(2b＋c)b＋(2c＋b)c. 即a2＝b2＋c2＋bc.
由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA.
1
故cosA＝－，A＝120°.
2
3
(2)由(1)得sin2A＝sin2B＋sin2C＋sinBsinC＝.
4
11
又sinB＋sinC＝1，得sinBsinC＝，解得sinB＝sinC＝.
42
因为A＝120°，所以0°＜B＜60°，0°＜C＜60°， 故B＝C＝30°.
所以△ABC是等腰钝角三角形．
15．[解答] (1)由条件，得(b＋c)2－a2＝3bc，即b2＋c2－a2＝bc，
b2＋c2－a21
∴cosA＝＝.
2bc2
∵0°
?B＋C＝120°，?(2)由?得B＝105°，C＝15°.
?B－C＝90°?
b44sin105°
由正弦定理得＝，即b＝，
sin105°sin15°sin15°
∴b＝4tan75°，
1＋tan30°
∵tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝2＋3，
1－tan30°
∴b＝8＋43.
16．[解答] (1)方法一：由acosC＋ccosA＝2bcosB及余弦定理，得 a2＋b2－c2b2＋c2－a2a2＋c2－b2a×＋c×＝2b×.
2ab2bc2ac化简，得a2＋c2－b2＝ac，
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a2＋c2－b21
所以cosB＝＝，
2ac2
π
因为B∈(0，π)，所以B＝. 3
方法二：由acosC＋ccosA＝2bcosB及正弦定理，得 sinAcosC＋sinCcosA＝2sinBcosB， 即sin(A＋C)＝2sinBcosB，
因为A＋B＋C＝π，所以sin(A＋C)＝sinB≠0，
所以cosB＝1
2
.
因为B∈(0，π)，所以B＝π
3. (2)sinA＋sinC＝sinA＋sin?2π
?3－A??
＝33
2sinA＋2
cosA ＝3sin??A＋π6??， 因为0
3，所以6
，
所以1
2
?2，3??. 第5页（共5页）