2013年全国高中数学联赛辽宁省初赛试题及参考答案及评分标准
说明：
1．评阅试卷时，请依据本评分标准，选择题和填空题只设5分和0分两档，其它各 题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分。
2．如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，评卷时可参照本 评分标准适当划分档次评分，可以5分为一个档次，不要再增加其它中间档次。 一．选择题（本题满分30分，每小题5分）
1．已知集合A?{x|x?2x?10?0},B?{x|m?1?x?2m?1}．当A?B??时，实数m的取值范围是（ ）．
(A) . 2?m?4 (B). m?2或m?4 (C). ?1. (B).
2．过原点的直线l交双曲线xy??22于P、Q两点，其中点P在第二象限，将下半平面沿x轴折起使之与上半平面成直二面角，线段PQ的最短长度是（ ）． (A) . 22 (B). 32 (C). 42 (D)．4 2. (D)．
3．设a,b,c均为非零复数，令w??211?m?4 (D)．m??或m?4 2213abca?b?c?i，若??，则的值为（ ）． 22bcaa?b?c22(A) . 1 (B). ?w (C). 1,w,w (D)．1,?w,w
3. (C).
4．设f(x)是(0,??)上的单调函数，且对任意x?(0,??)，都有f[f(x)?log2x]?6．若
x0是方程f(x)?f'(x)?4的一个解，且x0?(a?1,a)(a?N*)，则a的值为（ ）．
(A) . 1 (B). 2 (C). 3 (D)．4 4. (B)． 5．内直径为
43?2，高为20的圆柱形容器中最多可以放入直径为2的小球的个数是3（ ）．
(A) . 30 (B). 33 (C). 36 (D)．39 5. (C)．
226．已知实数x,y满足17(x?y)?30xy?16?0．则16x?4y?16xy?12x?6y?9的22最大值是（ ）．
(A) . 7 (B). 29 (C). 19 (D)．3 6. (A) .
二．填空题（本题满分30分，每小题5分） 7．若2?2?27.
aba?b,2a?2b?2c?2a?b?c，则2c的最大值是 ．
4. 3
8．长方体ABCD?A1B1C1D1中，AB?AA1?4,AD?3，则异面直线A1D与B1D1的距离为 ．
634.
173x2y29．椭圆2?2?1(a?b?0)的离心率为，斜率为1且过点M(b,0)的直线与椭圆交
2ab8.
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????????32于A、B两点．设O为坐标原点，若OA?OB? cot?AOB，则该椭圆的方程是 ．
5x2y29. ??1. 16410．将11个完全一样的小球放入6个不相同的盒子中，使得至多有3个空盒子的放法有 种．
10. 4212.
?2x?1,x?0,11．已知函数f(x)??设方程f(x)?x在区间(0,n]内所有实根的和为
?f(x?1)?1,x?0,1Sn，则数列{}的前n项和= ．
Sn2n11..
n?1
2a12．数列{an}中，an?2an?1?n?1?n?1(n?2)，则此数列的通项公式an= ．
n12.an?(n?1)(2n?1?1).
三．解答题
13．设关于x的方程x?mx?1?0有两个实根?,?(???)，函数f(x)?（1）求?f(?)??f(?)的值；
（2）判断f(x)在区间(?,?)的单调性，并加以证明；
22x?m. 2x?1??????????)?f()|?|???|.
??????13. 解: (Ⅰ)∵?,?是方程x2?mx?1?0的两个根， ∴????m,????1，
2??m2??(???)???1∴f(?)?2 ， ?????1?2????(???)?∴?f(?)?1，同理可得?f(?)?1 ∴?f(?)??f(?)?2， ………………（5分）
2(x2?mx?1)2(x??)(x??)??（Ⅱ）∵f?(x)??， 2222(x?1)(x?1)当x?(?,?)时，f?(x)?0，∴f(x)在(?,?)上单调递增． ………………………（10分）
??????(???)??????(???)（Ⅲ）∵????0，????0，
??????????????????????∴???? ∴由（Ⅱ）可知，f(?)?f()?f(?)，
???????????)?f(?)， 同理f(?)?f(?????????????)?f()|?|f(?)?f(?)|， ……………………………（15分） ∴|f(??????（3）若?,?均为正实数，证明：|f(由（Ⅰ）可知，f(?)?，????1，
??11???|?|???|， ∴|f(?)?f(?)|?|?|?|???? 2 / 4
1，f(?)?1?????????? )?f()|?|???|． ……………………（20分）
??????2?14.已知数列{an}满足a1?3,an?1?an?nan??(n?N,?为实数）． （1）若an?2n恒成立，求?的取值范围；
∴|f(111?????2． a1?2a2?2an?214. 解: (Ⅰ)当n?2时，由a2?6???2?2得???2，
（2）若?=-2，求证：
即an?2n时，???2. …………………………（5分） 下面证明当???2时，an?2n.
当n?2时，a2?2?2成立；设当n?k(k?2)时，ak?2k成立；则当n?k?1时，
2ak?1?ak?kak???ak(ak?k)???2k2?2?2?k?1?(k?1)?2?k?1?，
故对所有n?2，an?2n成立.
当n?1时，a1?3?2?1成立， 故对所有n?N*，an?2n成立.
综上，?的取值范围是???2. ……………………………（10分）
2（Ⅱ）当???2时， an?1?2?an， ?nan?4?nan?4?2?an?2??0（n?2）
?111111， …………………（15分） ??????????n?1??n?1（n?3）
an?22an?1?2a1?2221111111?????1??2?????n?1?2?n?1?2. ……………（20分） a1?2a2?2an?2222215．如图，锐角△ABC中，AB
15.证明:如图,作平行四边形ABFC和平行四边形ABGP，
A
则AC?FB，?ACE??FBD，又BD?CE， 故?AEC??FDB， ………………………（5分） ?BDF??AEC，所以FD//AE，
又PD//AE，则P、D、F三点共线. ……（10分） 因此，?BFP??BFD??EAC??BAP??BGP, 故B、G、F、P四点共圆，
?FBG??FPG??BAP??EAP??CAP又由于 AP?BG,AC?BF,故?APC??BGF，……（20分） 故?ABP??BPG??BFG??ACP. ……（25分） 16.设点P为圆C1：x?y?2上的动点，过点P
22P ?????????作x轴的垂线，垂足为Q.点满足2?MQ?PQ.
G B P M y （1）求点M的轨迹的方程；
（2）过直线x?2上的点T作圆C2的两条切线，设切点分别为A、B，若直线AB与（1）中的曲线
A D E F C
|CD|的取值范围. |AB|?????????16.解：(Ⅰ)设点M(x,y)，由2?MQ?PQ，得
C2交于两点C、D，求
C OT xQ D P(x,2y)，
由于点P在C1：x?y?2上，
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22B x2?y2?1. ………………（5分） 所以x?2y?2，即M的轨迹方程为2（Ⅱ）设点T(2,t)，A(x1?,y1?)，B(x2?,y2?)，则AT，BT的方程为
22x1?x?y1?y?2，x2?x?y2?y?2， 又点T(2,t) 在AT、BT上，则有：
2x1??ty1??2①，
2x2??ty2??2②， ……………………（10分） 由①、②知AB的方程为：2x?ty?2，
设点C(x1,y1)，D(x2,y2)，则圆心O到AB的距离
d?24?t2，则
22t2?4|AB|?2r?d?22；
t?42 ……………………（15分）
?2x?ty?2?22(t?8)y?4ty?4?0， 又由?x2，得2??y?1?224t?4t222t?4?2t?8|y1?y2|?于是y1?y2?2，y1y2?2，∴|CD|?1?， 4t2?8t?8t?8|AB|(t2?8)t2?2?于是，
22|CD|(t?4)t?4|AB|s3?6s2?32632??1??3， 设t?4?s，则s?4，于是3|CD|sss11|AB|?m，m?(0,]?1?6m?32m3，……………………（20分） 设，于是
|CD|s4132设f(m)?1?6m?32m，f?(m)?6?96m，令f?(m)?0，得m?.，
42得
f(m)在(0,]上单调递增，故f(m)?(1,2].，即
14?2?|CD|,1?的范围为?. ?|AB|?2?…………………………………………（25分）
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