第10章 第1节
时间：45分钟 满分：100分
一、选择题(每小题7分，共42分)
5
1．不等式A6n＜6An的解集为( )
A．[2,8] C．[6,11) 答案：C
5解析：A6n＜6An，
B．(6,11) D．{11}
∴
n！6·n！
＜，
?n－6?！?n－5?！
∴n－5＜6，∴n＜11， 又∵n≥6，n≥5， ∴6≤n＜11，故选C.
2．[2012·广东揭阳]某市汽车牌照号码可以上网自编，但规定从左到右第二个号码只能从字母B、C、D中选择，其他四个号码可以从0～9这十个数字中选择(数字可以重复)，某车主第一个号码(从左到右)只想在数字3、5、6、8、9中选择，其他号码只想在1、3、6、9中选择，则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A. 180种 C. 720种 答案：D
解析：按照车主的要求，从左到右第一个号码有5种选法，第二位号码有3种选法，其余三位各有4
1
种选法，因此该车主的车牌号码可选的所有可能情况共有A1A1A1A1A4＝960种，故选D. 5·3·4·4·
B. 360种 D. 960种
3. [2012·江西井冈山]有甲、乙、丙三项任务，甲需2人承担，乙、丙各需1人承担，从10人中选派4人承担这项任务，不同的选法有( )
A．1260种 C．2520种 答案：C
解析：第一步，从10人中选派2人承担任务甲，有C210种选派方法；第二步，从余下的8人中选派1人承担任务乙，有C1第三步，再从余下的7人中选派1人承担任务丙，有C1根8种选派方法；7种选派方法．据分步乘法计数原理易得选派方法种数为C2C1C110·8·7＝2520.
4．2010年广州亚运会组委会要从A、B、C、D、E五名志愿者中选派四人分别从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同工作，若其中A和B只能从事前两项工作，其余三人均能从事这四项工作，则不同的选派方案共有( )
A．48种 C．18种
B．2025种 D．5040种
B．36种 D．12种
答案：B
22
解析：分A和B都选中和只选中一个两种情况；当A和B都选中时，有A2·A3种选派方案；当A和B2213
只选中一个时，有2A1A3A3＝36种． 2·3种选派方案，所以不同的选派方案共有A2A3＋2A2·
5. [2012·安徽“江南十校”联考]在1,2,3,4,5,6,7的任一排列a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7中，使相邻两数都互质的排列方式种数共有( )
A. 576 C. 864 答案：C
解析：先让数字1,3,5,7作全排列，有A44＝24种，再排数字6，由于数字6不与3相邻，在排好的排列中，除3的左、右2个空隙，还有3个空隙可排数字6，故数字6有3种排法，最后排数字2,4，在剩下
42的4个空隙中排上2,4，有A24种排法，故共有A4×3×A4＝864种排列方式．
B. 720 D. 1152
6. [2012·安徽合肥]某班有四名学生参加了志愿者工作，将这四名学生分到A，B，C三个不同的展馆服务，每个展馆至少分配一人．若甲要求不到A馆，则不同的分配方案有( )
A. 36种 C. 24种 答案：C
1
解析：若A馆只分配一人，则可从除甲以外的其他3名学生选一人，有C3种，其余三人分配到B、C122
两个馆，有C2A2C3·A2＝18种分配方案；若A馆分配二人，可从除甲以外的其他3名学生3·2种，因此有C3·222中选二人，有C2A2＝6种，故一共有18＋6＝243种，其余两人分配到B、C两个馆，有A2种，因此有C3·
B. 30种 D. 20种
种分配方案．
二、填空题(每小题7分，共21分)
7. 在全运会期间，5名志愿者被安排参加三个不同比赛项目的接待服务工作，则每个项目至少有一人参加的安排方法有__________种．
答案：150
2113
C2C15C3C15C4C3解析：现将5名志愿者按2,2,1或1,1,3分组，再排列，共有(＋)A33＝150种不同的安排2！2！
方法．
8. [2012·广东联考]某国家代表队要从6名短跑运动员中选4人参加亚运会4×100 m接力，如果其中甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，共有______种参赛方法．
答案：252
解析：分情况讨论：①若甲、乙均不参赛，则有A44＝24种参赛方法；②若甲、乙有且只有一人参赛，
432432
则有C1C32·4(A4－A3)＝144种；③若甲、乙两人均参赛，则有C4(A4－2A3＋A2)＝84种，故一共有24＋144
＋84＝252种参赛方法．
9．[2011·湖北]给n个自上而下相连的正方形着黑色或白色．当n≤4时，在所有不同的着色方案中，黑色正方形互不相邻的着色方案如下图所示： ．．．．
由此推断，当n＝6时，黑色正方形互不相邻的着色方案共有__________种，至少有两个黑色正方形．．．．相邻的着色方案共有__________种．(结果用数值表示) ．．
答案：21 43
解析：如图所示六个正方形
1 2 3 4 5 6 若互不相邻有：(1)不着黑色，共有1种； (2)着一格黑色共有C16＝6种；
1(3)着两格黑色共有C26－C5＝10种；
(4)着三格黑色共有4种． 共计21种．
所有着色情况共有26＝64种，又由上知互不相邻的着色方案有21种． 故至少有两个相邻的着色方案共有64－21＝43种． 三、解答题(10、11题12分、12题13分)
10. 某班某天有七节课上午4节，下午3节，安排语、数、外、理、化、生及体育，要求数学在上午，体育在上午第四节或下午共有多少种不同的排课方法．
解： 以元素为线索，先排数学，再排体育最后排没有限制的其它5节，数学可以上午的四节中任选一节有4种方法，而对于数学排在一二三节与排在第四节，再排体育方法数不一样，所以分类，第一类，
1515
数学在前三节，A13A4A5，第二类数学在第四节有A3A5.
1515
∴共有A13A4A5＋A3A5＝1800.
11．有5张卡片的正反面上分别写有0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排在一起组成三位数，共可以组成多少个不同的三位数？
解：以“元素”进行分类，满足下列条件的三位数有以下三类： (1)不要0和1的有C3A323个； 4·3·(2)要1不要0的有C2A322个； 4·3·(3)要0不要1的有2C222·A24·2个．
故共可得到不同的三位数有
333232C4·A3·2＋C4·A3·2＋2C222·A24·2＝432(个)．
12．有编号分别为1、2、3、4的四个盒子和四个小球，把小球全部放入盒子．问： (1)共有多少种放法？
(2)恰有一个空盒，有多少种放法？ (3)恰有2个盒子内不放球，有多少种放法？
解：(1)1号小球可放入任意一个盒子内，有4种放法．同理，2、3、4号小球也各有4种放法，故共有44＝256种放法．
(2)恰有一个空盒，则这4个盒子中只有3个盒子内有小球，且小球数只能是1、1、2.先从4个小球中任选2个放在一起，有C24种方法，然后与其余2个小球看成三组，分别放入4个盒子中的3个盒子中，有
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A34种放法．由分步计数原理，知共有C4A4＝144种不同的放法．
(3)恰有2个盒子内不放球，也就是把4个小球只放入2个盒子内，有两类放法：
①一个盒子内放1个球，另一个盒子内放3个球．先把小球分为两组，一组1个，另一组3个，有
112C4种分法，再放到2个盒子内，有A24种放法，共有C4A4种方法；
2
②2个盒子内各放2个小球．先从4个盒子中选出2个盒子，有C4种选法，然后把4个小球平均分成22
2组，每组2个，放入2个盒子内，也有C4种选法，共有C24C4种方法．
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由分类计数原理知共有C14A4＋C4C4＝84种不同的放法．